一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$ ，使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
当 $a$ 取下列哪个值时，函数 $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-a$恰好有两个不同的零点
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设函数 $f(x)=x^2(x-1)(x-2)$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)>0 ， f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{B.}$ $f(0)>1, \quad f^{\prime \prime}(0) < 0$
$\text{C.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f(0) < 1, \quad f^{\prime \prime}(0) < 0$
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0, g(0) < 0$ 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $0$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$
设函数 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(\pi,-2)$
$\text{C.}$ $(0,2)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为
若曲线 $y=x^3+a x^2+b x+1$ 有拐点 $(-1,0)$ ，则 $b=$
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
三、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性.
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值。