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数学

一、单选题 (共 8 题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确)
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 且 $a \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$. $\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$. $\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$. $\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$.


当 $x \rightarrow 0$ 时,变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小. $\text{B.}$ 无穷大. $\text{C.}$ 有界的, 但不是无穷小. $\text{D.}$ 无界的, 但不是无穷大.


函数 $f(x)=x \sin x$
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大. $\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界. $\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界. $\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限.


当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 . $\text{B.}$ 等于 0 。 $\text{C.}$ 为 $\infty$ 。 $\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$


已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$, 其中 $k, c$ 为常数, 且 $c \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$. $\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$. $\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$. $\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$.


设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$. $\text{B.}$ $a=0, b=-2$. $\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$. $\text{D.}$ $a=1, b=-2$.


设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛,则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛. $\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛. $\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛。 $\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.


设数列通项
$$x_n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数, } \\
\frac{1}{n}, & n \text { 为偶数. }
\end{array}\right.
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $ x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量. $\text{B.}$ 无穷小量. $\text{C.}$ 有界变量. $\text{D.}$ 无界变量.


二、填空题 (共 1 题, 每小题 5 分,共 20 分, 请把答案直接填写在答题纸上)
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$



三、解答题 ( 共 2 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.



 

求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.



 

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