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数学

一、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x}

解

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2. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x}) - 2 x \ln 2]

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3. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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4. 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{3}} + \frac{1 + 2}{n^{3}} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^{3}})

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5. 求极限:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2}}

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6. 求极限:

lim_{n \to \infty} \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1}

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7. 求极限

lim_{n \to \infty} 2^{n} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots \sqrt{2}}}}

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8. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}

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9. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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10. 求极限

lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + \sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^{2} \ln x}

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