一、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} x \cot x$;
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}$ ( $x$ 为不等于零的常数, $\left.n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.
计算下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$
利用极限准则证明：$ \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1$
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求此极限.
证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
(1) $\arctan x \sim x$;
(2) $\sec x-1 \sim \frac{x^2}{2}$.
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
计算极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{3}{n^2}+\cdots+\sin \frac{2 n-1}{n^2}\right)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
求极限$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1+2}{n^3}+\cdots+\frac{1+2+\cdots+n}{n^3}\right)$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1^2+2^2+\cdots+k^2}$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}$
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+\sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^2 \ln x} $