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数学

一、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算

lim_{x \to 0} x \cot x

;

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2. 求极限

lim_{n \to \infty} 2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}

(

x

为不等于零的常数,

n \in N_{+})

.

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3. 计算下列极限：
(1)

lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}}

;
(2)

lim_{x \to 0} (1 + 2 x)^{\frac{1}{x}}

;
(3)

lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{x})}^{2 x}

;
(4)

lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{k x}

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4. 利用极限准则证明：

lim_{x \to 0} \sqrt[n]{1 + x} = 1

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5. 数列

{x_{n}}

满足:

x_{1} = \sqrt{2}, x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}} (n \in N_{+})

. 证明

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 并求此极限.

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6. 证明: 当

x \to 0

时, 有
(1)

\arctan x \sim x

;
(2)

\sec x - 1 \sim \frac{x^{2}}{2}

.

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7. 利用等价无穷小计算

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^{3} x}

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8. 证明

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}) = 1 .

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9. 求极限:

lim_{n \to \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \dots \cos \frac{x}{2^{n}}

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10. 计算极限:

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2}} + \sin \frac{3}{n^{2}} + \dots + \sin \frac{2 n - 1}{n^{2}})

.

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11. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x}

解

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12. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x}) - 2 x \ln 2]

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13. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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14. 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{3}} + \frac{1 + 2}{n^{3}} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^{3}})

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15. 求极限:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2}}

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16. 求极限:

lim_{n \to \infty} \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1}

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17. 求极限

lim_{n \to \infty} 2^{n} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots \sqrt{2}}}}

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18. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}

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19. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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20. 求极限

lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + \sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^{2} \ln x}

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