一、解答题 （ 共 38 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设曲线积分 $\int_{C} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数, 且 $\varphi(0)=0$. 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 的值.
计算三重积分 $\iint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域.
计算二重积分 $\iint_D x^2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0, y=1$ 所围成的平面区域.
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
计算二重积分$\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,$ 其中区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq \sqrt{\pi}\}$.
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x+2 y+z=1, x=0, y=0, z=0$ 围成的区域.
求 $\iint_D|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$.
计算二重积分: $\iint_D \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^2$ 所围成的封闭区域.
计算含参量反常积分: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^y} \mathrm{~d} y$.
$\iint_D\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} d x d y$, 其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$.
$z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right)$, 其中 $f$ 具有连续二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
计算 $\iint_D y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^2+y^3}{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中平面区域 $D$ 由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 所围成.
计算 $\iint_D\left|y-x^2\right| \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中
$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\} .$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$, 计算 $\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$, 其中
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} .
$$
计算 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x}} \frac{x+y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} y$.
计算 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$.
设 $f(x)=\int_x^1 \sin \left(\pi u^2\right) \mathrm{d} u$, 求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ 是有界闭区域, $I(\Omega)=\iiint_{\Omega}\left(x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 取得最小值的积分域记为 $\Omega_1$.
(I) 求 $I\left(\Omega_1\right)$ 的值;
(II) 计算 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+2 y^2+3 z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是 $\Omega_1(z \geqslant 0)$ 的上侧边界.
计算二重积分， $I=\iint_D(x+2 y) d \sigma$ ，其中 $D$ 为 $x^2+y^2=2 x$ 所围成的区域
计算二重积分， $I=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x$
计算二重积分 $\iint_D \frac{r \cos \theta(1+r \sin \theta) \mathrm{e}^{-(\cos \theta+\sin \theta)}}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r$, 其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid r>0,0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right\}$.
函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \mathrm{e}^{\mathrm{e}^2-y^2}, & x < 0, \\ |x-y|, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$,计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x+y \geqslant 0\right\}$, 求 $\iint_D \frac{1+x y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2+2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geqslant 2, x \leqslant 1\right\}$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设二元函数 $f(x, y)$ 连续, 且满足
$f(x, y)=x^2 \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s+x y \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma-1 \text { ， }
$
其中 $D$ 为圆周 $L: x^2+y^2=1$ 所围成的闭区域.
(1) 试求 $f(x, y)$ 的表达式;
(2) 试证明: $\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x+x f(x, y) \mathrm{d} y=\frac{\pi}{2} \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ，
其中 $L$ 为逆时针方向.
计算 $\boldsymbol{I}=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$
计算二重积分 $\iint_D(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x+y+1\right\}
$$
计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \min \{x, y\} e^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)=e^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2}\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 求 $f(t)$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x\right\}$ ，求 $\iint_D \sqrt{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
求二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 D: $1 \leq x^2+y^2 \leq 9$
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x y z^2 d V, \Omega$ : 平面 $\mathrm{x}=0, \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=0, \mathrm{y}=2, \mathrm{z}=0, \mathrm{z}=1$ 所围区域
设 $\sum$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $\mathrm{z}=1$ 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求
$$
\iint_{\Sigma} 3 x d y d z-2 y z d z d x+z^2 d x d y
$$