一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A, B, C$ 表示三个事件，则 $\bar{A} \bar{B} \bar{C}$ 表示
$\text{A.}$ $A, B, C$ 中有一个发生
$\text{B.}$ $A, B, C$ 中恰有两个发生
$\text{C.}$ $A, B, C$ 中不多于一个发生
$\text{D.}$ $A, B, C$ 都不发生
$A, B$ 为两事件，若 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, $P(\bar{B})=0.4$ 则 $(\bar{\square})$ 成立
$\text{A.}$ $P(A \bar{B})=0.32$
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0.2$
$\text{C.}$ $P(B-A)=0.4$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} A)=0.48$
设 $A, B$ 为任二事件，则
$\text{A.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$
设事件 $A, B$ 相互独立，则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $A$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{C.}$ $P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)$
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 一定互斥
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布列为
其分布函数为 $F(x)$ ，则 $F(3)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 1
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
c x^4, & x \in[0,1] \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} \text { ，则常数 } c=\right.
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim N(0,1)$ ，密度函数 $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ ，则 $\varphi(x)$ 的最大值是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 可取无穷多个值 $0,1,2, \ldots$, 其概率分布为 $p(k ; 3)=\frac{3^k}{k !} e^{-3}, k=0,1,2, \cdots$ ，则下式成立的是
$\text{A.}$ ${E X}={D} {X}={3}$
$\text{B.}$ $E X=D X=\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $E X=3, D X=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $E X=\frac{1}{3}, D X=9$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
独立随机变量 $X, Y$ ，若 $X \sim N(1,4), Y \sim N(3,16)$ ，下式中不成立的是
$\text{A.}$ $E(X+Y)=4$
$\text{B.}$ $E(X Y)=3$
$\text{C.}$ $D(X-Y)=12$
$\text{D.}$ $E(Y+2)=16$
设随机变量 $X$ 的分布列为:
则常数 $c= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{4}$
设 $X \sim N(0,1)$ ，又常数 $c$ 满足 $P\{X \geq c\}=P\{X < c\}$ ，则 $c=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
已知 $E X=-1, D X=3$ ，则 $E\left[3\left(X^2-2\right)\right]=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 36
当 $X$ 服从 ________ 分布时， $E X=D X$.
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
下列结论中， ________ 不是随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关的充 要条件.
$\text{A.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$ 相互独立
设 $X-b(n, p)$ 且 $E X=6, D X=3.6$ ，则有
$\text{A.}$ $n=10, p=0.6$
$\text{B.}$ $n=20, p=0.3$
$\text{C.}$ $n=15, p=0.4$
$\text{D.}$ $n=12, p=0.5$
设 $p(x, y), p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ 分别是二维随机变量 $(\xi, \eta)$ 的联合密度函数及边缘密度函数，则 ________ 是 $\xi$ 与 $\eta$ 独 立的充要条件.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{E} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$
$\text{B.}$ $D(\xi+\eta)=D \xi+D \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $\forall x, y$, 有 $p(x, y)=p_{\xi}(x) p_\eta(y)$
设是二维离散型随机变量，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是
$\text{A.}$ $E(X Y)=E X E y$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $(X, Y)$ 的任何可能取值 $\left(x_i, y_j\right), P_{i j}=P_{i \bullet} \cdot P_{\cdot j}$
设 $(X, Y)$ 联合密度为 $p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 ， }\end{array}\right.$ 若 $F(x, y)$ 为分布函数，则 $F(0.5,2)= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
用 6 个点将一个圆周分成 6 等份, 从中随机选取两点连线, 再从剩余各点中随机选取两点连线, 如此得到的两条弦相交的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, 以 $|X|$ 为半径作圆, 独立重复操作 10000 次, 所得各圆的面积和为 $S$, 则 $S$ 服从
$\text{A.}$ 正态分布.
$\text{B.}$ $t$ 分布.
$\text{C.}$ $\chi^2$ 分布.
$\text{D.}$ 三者都不对.
设总体 $Z=X \cos Y$, 其中 $X \sim E(\lambda), Y \sim U(0, a), X$ 与 $Y$ 相互独立, $a$ 为已知参数, $\lambda$ 为末知 参数. 若要利用 $Z$ 的一阶矩对参数 $\lambda$ 进行矩估计, 则下列 $a$ 的四种取值中, 使得矩估计法可行 的是
$\text{A.}$ $a=\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $a=\pi$.
$\text{C.}$ $a=2 \pi$.
$\text{D.}$ $a=4 \pi$.
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 3 \\ 0.8,3 \leqslant x < 5 \\ 1, x \geqslant 5\end{array}\right.$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(x)=$ $\left\{\begin{array}{l}0, x < 5 \\ 0.2,5 \leqslant x < 7 \\ 1, x \geqslant 7\end{array}\right.$, 那么下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(X+Y=10)=0.68$
$\text{B.}$ 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{C.}$ $X+Y=10$
$\text{D.}$ $P(X=3, Y=7)=0.64$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 ( ) 个。
(1). 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
(2). (1)的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
(3). (1)的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
(4). (1)的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数分别为 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$. 我们假设: 如果 $X_i$ 为离散型随机变量, 其概率分布为 $X_i \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-p_i & p_i\end{array}\right)$ (即 $X_i$ 服从参数为 $p_i$ 的 $0-1$ 分布, $0 < p_i < 1, i=1,2$ ).如果 $X_i$ 为连续型随机变量, 其概率密度为 $f_i(x)(i=1,2)$, 已知 $F_1(x) \leqslant F_2(x)$, 则
$\text{A.}$ $p_1 \leqslant p_2$.
$\text{B.}$ $p_1 \geqslant p_2$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leqslant f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_1(x) \geqslant f_2(x)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 则随机变量函数 $Y=|X|$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 为
$\text{A.}$ $f_Y(y)=f(y)+f(-y)$.
$\text{B.}$ $f_Y(y)=\frac{f(y)+f(-y)}{2}$.
$\text{C.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}f(y)+f(-y), & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f(y)+f(-y)}{2}, & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,1 ; 1,4 ; 0)$, 则 $P\{X Y>X\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $T=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2+T}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{(n-1)}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2}, x \in(-1,1)$. 对任意 $x \in(-1,1)$,若在条件 $X=x$ 下, 随机变量 $Y$ 的条件分布律为
$$
\mathrm{P}\left(Y=-\sqrt{1-x^2}\right)=\mathrm{P}\left(Y=\sqrt{1-x^2}\right)=1 / 2,
$$
则 $Y$ ________ 连续型随机变量, $(X, Y)$ ________ 连续型随机向量.
$\text{A.}$ 是, 是
$\text{B.}$ 是, 不是
$\text{C.}$ 不是, 是
$\text{D.}$ 不是, 不是
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为一列独立同分布的随机变量, 且均服从参数为 $\lambda>0$ 的指数分布. 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 且 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则对任意 $x \in \mathbb{R}$, 有
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{n}}{\lambda}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{\frac{n}{\lambda}}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}(\sqrt{n}(\lambda \bar{X}-1) \leq x)=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{n \lambda}\left(\bar{X}-\frac{1}{\lambda}\right) \leq x\right)=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
$\text{A.}$ 样本标准差
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则下列统计量中, ( ) 为 $\mu$ 的无偏估计且方差最小.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{6} X_3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{3} X_3$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2+\frac{2}{5} X_3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{7} X_1+\frac{2}{7} X_2+\frac{3}{7} X_3$
假设检验中, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下若原假设 $H_0$ 被接受, 这说明
$\text{A.}$ 有充分的理由表明 $H_0$ 是正确的
$\text{B.}$ 没有充分的理由表明 $H_0$ 是错误的
$\text{C.}$ 有充分的理由表明 $H_1$ 是错误的
$\text{D.}$ 没有充分的理由表明 $H_1$ 是正确的
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $E(X)=\theta$. 检验 $H_0: \theta=0$; $H_1: \theta \neq 0$, 且拒绝域 $W_1=\{|\bar{X}|>1\}$ 和 $W_2=\{|\bar{X}|>2\}$ 分别对应显著性水平 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$, 则
$\text{A.}$ $\alpha_1=\alpha_2$.
$\text{B.}$ $\alpha_1>\alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_1 < \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的大小关系不确定.
设口袋中有 10 个球, 其中 6 个红球, 4 个白球, 每次不放回地从中任取一个, 取两次, 若取出的两个球中有 1 个是白球, 则两个都是白球的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次, 已知每次射击甲命中目标的概率为 $p(0 < p$ $ < 1)$, 乙命中目标的概率为 0.6 , 则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 $p$ 为
$\text{A.}$ 0.6
$\text{B.}$ 0.7
$\text{C.}$ $\frac{7}{11}$.
$\text{D.}$ $\frac{8}{11}$.
设 $X_1 \sim N(1,1), X_2 \sim N(2,4)$, 又 $X_3 \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$, 且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, $Z=\left(X_1-1\right) X_3+\left(X_2-2\right)\left(1-X_3\right)$, 则 $P\{Z \geqslant 0\}=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$