一、单选题 （共 62 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数$f(x)=\dfrac{sin x+x}{cos x+x^2}$ 在$[-\pi,\pi]$的图像大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
如图是求 $ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}} $ 的程序框图, 图中空白框中应填入 （ ）
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{2+A}$
$\text{B.}$ $A=2+\frac{1}{A}$
$\text{C.}$ $A=\frac{1}{1+2 A}$
$\text{D.}$ $A=1+\frac{1}{2 A}$
已知椭圆的焦点为 $ F_{1}(-1,0)$,$ F_{2}(1,0)$ , 过$F_{2}$ 的直线与 C 交于 A, B 两点. 若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right| $ ,$|AB|=|BF_1|$, 则C的方程为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
$\text{A.}$ $8 \sqrt{6} \pi$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{6} \pi$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{6} \pi$
$\text{D.}$ $ \sqrt{6} \pi$
在正方体 $A B C D-A_{i} B_{i} C_{:} D_{i}$ 中, $P$ 为 $B_{i} D_{i}$ 的中点, 则直线 $P B$ 与 $A D_{i}$ 所成的角为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
把函数 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所 得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像, 则 $f(x)=$ （ ）
$\text{A.}$ $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7 \pi}{12}\right)$
$\text{B.}$ $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(2 x-\frac{7 \pi}{12}\right)$
$\text{D.}$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量 海盗的高。如图, 点 $\mathrm{E}, \mathrm{H}, \mathrm{G}$ 在水平线 $\mathrm{AC}$ 上, $\mathrm{DE}$ 和 $\mathrm{FG}$ 是两个垂直于水平面且等 高的测量标杆的高度, 称为 “表高”, $\mathrm{EG}$ 称为 “表距”, $\mathrm{GC}$ 和 $\mathrm{EH}$ 都称为 “表目距”, $\mathrm{GC}$ 与 $\mathrm{EH}$ 的差称为 “表目距的差"。则海岛的高 $\mathrm{AB}=()$.
$\text{A.}$ $\dfrac{{表高} \times {表距}}{表目距的差} + 表高$
$\text{B.}$ $\dfrac{{表高} \times {表距}}{表目距的差} - 表高$
$\text{C.}$ $\dfrac{{表高} \times {表距}}{表目距的差} +表距$
$\text{D.}$ $\dfrac{{表高} \times {表距}}{表目距的差} -表距$
某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为 （ ）
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $2\sqrt2$
$\text{C.}$ $2\sqrt3$
$\text{D.}$ $4\sqrt2$
已知平面向量 $\vec{a}=(\sqrt{3},-1),|\vec{b}|=\sqrt{2}$, 且 $(\vec{a}+2 \vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=2$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $3$
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 对的边分别为 $a, b, c, \sin A+\sin B=\frac{3}{2} \sin C$ 当内角 $C$ 最 大且 $b=3$ 时, $\triangle A B C$ 的面积等于 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{9+3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2}}{4}$
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$. 若点 $\mathrm{D}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$, 则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=($ )
$\text{A.}$ $\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{c}}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{3} \vec{c}-\frac{2}{3} \vec{b}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \vec{b}-\frac{1}{3} \vec{c}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} \vec{b}+\frac{2}{3} \vec{c}$
为得到函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只需将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象 ( )
$\text{A.}$ 向左平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个长度单位
$\text{B.}$ 向右平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个长度单位
$\text{C.}$ 向左平移 $\frac{5 \pi}{6}$ 个长度单位
$\text{D.}$ 向右平移 $\frac{5 \pi}{6}$ 个长度单位
已知三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等, $\mathrm{A}_{1}$ 在底面 $\mathrm{ABC}$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心, 则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
设 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是单位向量, 且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, 则 $(\vec{a}-\vec{c}) \cdot(\vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $-2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}-2$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $1-\sqrt{2}$
已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等, $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 $D$ 为 $B C$ 的中点, 则异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角的余弦值为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称, 那么 $|\phi|$ 的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
已知二面角 $\alpha-1-\beta$ 为 $60^{\circ}$, 动点 $P 、 Q$ 分别在面 $\alpha 、 \beta$ 内, $P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}, Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$, 则 $P 、 Q$ 两点之间距离的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $2\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $4$
如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ）
$\text{A.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{6}$
若 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角, 则 $\frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=$ （ ）
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 $a$, 顶点都在一个球面 上, 则该球的表面积为 （ ）
$\text{A.}$ $\pi a^{2}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{3} \pi a^{2}$
$\text{C.}$ $\frac{11}{3} \pi a^{2}$
$\text{D.}$ $5 \pi a^{2}$
已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合, 始边与 $x$ 轴的正半轴重合, 终边在直 线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 上, 则 $\cos 2 \theta=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
如果执行右边的程序框图, 输入正整数 $N(N \geqslant 2)$ 和实数 $a_{1}, a_{2}, \ldots$ , $a_{n}$, 输出 $A, B$, 则 （ ）
$\text{A.}$ $A+B$ 为 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 的和
$\text{B.}$ $\frac{A+B}{2}$ 为 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 的算术平均数
$\text{C.}$ $A$ 和 $B$ 分别是 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 中最大的数和最小的数
$\text{D.}$ $A$ 和 $B$ 分别是 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 中最小的数和最大的数
如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 18
已知 $\omega>0$, 函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减, 则实数 $\omega$ 的取值范围是 （ ）
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ $(0,2]$
已知三棱雉 S- $A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上, $\triangle A B C$ 是边长 为 1 的正三角形, $S C$ 为球 $O$ 的直径, 且 $S C=2$, 则此三棱雉的体积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{12}$
执行程序框图, 如果输入的 $ \mathrm{t} \in[-1,3] $ 则输出的 $\mathrm{s} $ 属于（ )
$\text{A.}$ $[-3,4]$
$\text{B.}$ $[-5,2]$
$\text{C.}$ $[-4,3]$
$\text{D.}$ $[-2,5]$
如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 $8 \mathrm{~cm}$, 将 一个球放在容器口, 再向容器注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 $6 \mathrm{~cm}$, 如不计容器的厚度, 则球的体积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{500 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
$\text{B.}$ $\frac{866 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1372 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2048 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
$\text{A.}$ $16+8 \pi$
$\text{B.}$ $8+8 \pi$
$\text{C.}$ $16+16 \pi$
$\text{D.}$ $8+16 \pi$
如图, 圆 $O$ 的半径为 $1, A$ 是圆上的定点, $P$ 是圆上的动点, 角 $x$ 的 始边为射线 $O A$, 终边为射线 $O P$, 过点 $P$ 作直线 $O A$ 的垂线, 垂足为 $M$, 将点 $M$ 到直线 OP 的距离表示为 $x$ 的函数 $f(x)$, 则 $y=f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 的图象大致 为 ( )
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$
执行如图的程序框图, 若输入的 $a, b, k$ 分别为 $1,2,3$, 则输出的
$$M=(\quad)$$
$\text{A.}$ $\frac{20}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{16}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{15}{8}$
设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 则（ ）
$\text{A.}$ $3 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $3 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
6. （5 分) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问 题："今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问：积及为米几何? “其意思 为: "在屋内墙角处堆放米（如图, 米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部 的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少? “已知 1 斛米的体积约为 $1.62$ 立方尺, 圆周率约为 3 , 估算出堆放的米约有 ( )
$\text{A.}$ 14 斛
$\text{B.}$ 22 斛
$\text{C.}$ 36 斛
$\text{D.}$ 66 斛
设 $\mathrm{D}$ 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面内一点, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi)$ 的部分图象如图所示, 则 $f(x)$ 的单调递
减区间为
$\text{A.}$ $\left(k \pi-\frac{1}{4}, k \pi+\frac{3}{4}\right), k \in z$
$\text{B.}$ $\left(2 k \pi-\frac{1}{4}, 2 k \pi+\frac{3}{4}\right), k \in z$
$\text{C.}$ $\left(k-\frac{1}{4}, k+\frac{3}{4}\right), k \in z$
$\text{D.}$ $\left(2 k-\frac{1}{4}, 2 k+\frac{3}{4}\right), k \in z$
执行如图所示的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的 $n=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$ ）组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为
$16+20 \pi$ 则 $ r=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径. 若该几何体的体积是 $\frac{28 \pi}{3}$, 则它的表面积是（）
$\text{A.}$ $17 \pi$
$\text{B.}$ $18 \pi$
$\text{C.}$ $20 \pi$
$\text{D.}$ $28 \pi$
执行下面的程序框图, 如果输入的 $x=0, y=1, n=1$, 则输出 $x, y$ 的 值满足（）
$\text{A.}$ $y=2 x$
$\text{B.}$ $y=3 x$
$\text{C.}$ $y=4 x$
$\text{D.}$ $y=5 x$