一、单选题 （共 58 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知实数 $x, y$ 满足
$$
\left\{\begin{array}{c}
x-y+1 \geq 0 \\
2 x-y-2 \leq 0 \\
x+y-1 \geq 0
\end{array}\right.
$$
则 $ z=2 x-3 y $ 的最小值为
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $-3$
$\text{C.}$ $-6$
$\text{D.}$ $-7$
$\triangle A B C$ 为直角三角形, $\angle B=60^{\circ}, \angle A=90^{\circ}$, 则以 $A, B$ 为焦点且过点 $C$ 的椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{D.}$ $2-\sqrt{3}$
已知菱形 $A B C D$ 中, 满足 $A B=8, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=32$, 若点 $G$ 在线段 $B D$ 上, 则 $\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}$ 的最小值是
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -4
已知经过第一、二、四象限的直线 $l: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 经过点 $P(2,1)$, 则 $2 a+b$ 的最小值为
$\text{A.}$ $4$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
设 $F_1 、 F_2$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, $P$ 为唨圆上的一点, 若 $\frac{\left|P F_2\right|}{\left|P F_1\right|^2+8\left|P F_2\right|^2}$ 的最大值为 $\frac{1}{8 a}$, 则椭圆的离心率的取值范围是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \leq e < 1$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} < e < 1$
$\text{C.}$ $0 < e < \frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $0 < e \leq \frac{1}{3}$
抛物线 $x^2=-4 y$ 的焦点是
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $(1,0)$
$\text{C.}$ $(0,1)$
$\text{D.}$ $(0,-1)$
过 $A(\sqrt{3}, 1), B(2 \sqrt{3}, 4)$ 两点的直线的倾斜角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
已知直线 $l_1:\left(a^2-1\right) x+3 y=0$ 与直线 $l_2: x+(a+1) y+4=0$ 垂直, 则实数 $a$ 的值为
$\text{A.}$ $a=-1$
$\text{B.}$ $a=-2$
$\text{C.}$ $a=-1$ 或 $a=-2$
$\text{D.}$ 不存在
若直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于点 $A, B$, 线段 $A B$ 中点 $P$ 为 $(1,1)$, 则直线 $l$ 的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
已知两点 $A(-4,0), B(4,0)$, 若直线上存在点 $P$, 使得 $|P A|-|P B|=4$, 则称该直线为 “点定差直线” 下列直线中, 不是 “点定差直线” 的有
$\text{A.}$ $y=3 x+4$
$\text{B.}$ $y=-\sqrt{3} x+1$
$\text{C.}$ $y=\sqrt{2} x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
已知椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1(0 < b < 4)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点, 若 $\left|B F_2\right|+\left|A F_2\right|$ 的最大值为 10 , 则 $b$ 的值是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3}$
若圆 $O: x^2+y^2=5$ 与圆 $O_1:(x-m)^2+y^2=20(m \in \mathbf{R})$ 相交于 $A, B$ 两点, 且两圆在点 $A$ 处的切线互 相垂直, 则线段 $A B$ 的长是
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{2}$
定义: 以双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线. 以下关于共轭双曲 线的结论不正确的是
$\text{A.}$ 与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 共轭的双曲线是 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1(a>0, b>0)$
$\text{B.}$ 互为共轭的双曲线渐近线不相同
$\text{C.}$ 互为共轭的双曲线的离心率为 $e_1 、 e_2$ 则 $e_1 e_2 \geq 2$
$\text{D.}$ 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上
已知指数函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 相切于点 $P$, 则 $f(x)$ 的解析式可能是
$\text{A.}$ $y=\mathrm{e}^x$
$\text{B.}$ $y=(\sqrt{2})^x$
$\text{C.}$ $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{e}}$
$\text{D.}$ $y=\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^x$
在 $\triangle A B C$ 中, 点 $F$ 为 $A B$ 的中点, $\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E A}, B E$ 与 $C F$ 交于点 $P$, 且满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B E}$, 则 $\lambda$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{7} \sqrt{V}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
设 $a=\log _6 5, b=\left(\log _6 4\right)^2, c=\log _5 6$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $b < a < c$
设 $2^a=5^b=m$, 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$, 则 $m=$
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 100
双碳, 即碳达峰与碳中和的简称, 2020 年 9 月中国明确提出 2030 年实现“碳达峰”, 2060 年实 现 “碳中和”. 为了实现这一目标, 中国加大了电动汽车的研究与推广, 到 2060 年, 纯电动汽车 在整体汽车中的渗透率有望超过 $70 \%$, 新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇. Peukert 于 1898 年提出湢电池的容量 $C$ (单位: $\mathrm{A} \cdot \mathrm{h}$ ), 放电时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$ ) 与放电电流 $I$ (单位: $\mathrm{A}$ )之 间关系的经验公式 $C=I^n \cdot t$, 其中 $n=\log _{\frac{1}{2}} 2$ 为 Peukert 常数. 在电池容量不变的条件下, 当 放电电流 $I=10 \mathrm{~A}$ 时, 放电时间 $t=56 \mathrm{~h}$, 则当放电电流 $I=15 \mathrm{~A}$ 时, 放电时间为
$\text{A.}$ $28 \mathrm{~h}$
$\text{B.}$ $28.5 \mathrm{~h}$
$\text{C.}$ $29 \mathrm{~h}$
$\text{D.}$ $29.5 \mathrm{~h}$
下列说法正确的有
$\text{A.}$ 若向量 $a / / b, b / / c$, 则 $a / / c$
$\text{B.}$ 若向量 $a \cdot b>0$, 则向量 $a, b$ 的夹角为锐角
$\text{C.}$ 向量 $a, b, c$ 是三个非零向量, 若 $a \cdot c=b \cdot c$, 则 $a=b$
$\text{D.}$ 向量 $a, b$ 是两个非零向量, 若 $|a+b|=|a-b|$, 则 $a \perp b$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$, 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)>a \ln (a x-2 a)-2 a(a>0)$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \mathrm{e}^2\right)$
$\text{B.}$ $\left(\mathrm{e}^2,+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, e^3\right)$
$\text{D.}$ $\left(e^3,+\infty\right)$
倾斜角为 $120^{\circ}$ 的直线经过点 $(a+1,3)$ 和 $(2 a-2,3 a)$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $-3$
椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ 上的一点到两个焦点的距离之和为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 18
双曲线 $C: \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{13}=1$ 上的点 $P$ 到左焦点的距离为 10 , 则 $P$ 到右焦点的距离为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 22
$\text{C.}$ 2 或 22
$\text{D.}$ 12
圆 $x^2+y^2-4 x=0$ 与圆 $(x-a)^2+(y+3)^2=9$ 佮有两条公切线, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-2,6)$
$\text{B.}$ $(-4,4)$
$\text{C.}$ $(-5,5)$
$\text{D.}$ $(-6,6)$
已知直线 $l: \sqrt{3} x+y-2=0$, 则
$\text{A.}$ 直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 \pi}{6}$
$\text{B.}$ 直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 直线 $l$ 的一个法向車为 $\boldsymbol{u}=(1, \sqrt{3})$
$\text{D.}$ 直线 $l$ 的一个方向向㞷为 $\boldsymbol{v}=(-\sqrt{3}, 3)$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是右支上一点, 且 $|P F_1$ | $=6\left|P F_2\right|$, 则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{7}{5}\right]$
$\text{B.}$ $\left(1, \frac{4}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left(1, \frac{7}{5}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{7}{5},+\infty\right)$
如图, 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分別为 $F_1, F_2$, 点 $M$ 与 $C$ 的焦点不 重合, 点 $M$ 关于 $F_1, F_2$ 的对称点分别为 $A, B$, 线段 $M N$ 的中点 $Q$ 在 $C$ 的右支上. 若 $|A N|-$ $|B N|=18$, 则 $C$ 的实轴长为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 15
台风中心从 $M$ 地以每小时 $30 \mathrm{~km}$ 的速度向西北方向移动, 离台风中心 $30 \sqrt{3} \mathrm{~km}$ 内的地区为 危险地区,城市 $N$ 在 $M$ 地正西方向 $60 \mathrm{~km}$ 处, 则城市 $N$ 处于危险区内的时长为
$\text{A.}$ $1 \mathrm{~h}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2} \mathrm{~h}$
$\text{C.}$ $2 \mathrm{~h}$
$\text{D.}$ $3 \mathrm{~h}$
$\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2-2}+3 x}{x+5}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$f(x)$ 为多项式函数, $g(x)=x^2 f(x)$，若 $f(2)=1, f^{\prime}(2)=3$, 则 $g^{\prime}(2)$ 的值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 14
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 18
已知函数 $f(x)=2 x^3-9 x^2+a x+5$ 在 $x=1$ 处取得极大值, 在 $x=b$ 处取得极小值,则 $a+b$ 的值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 14
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 18
过点 $(0.4)$ 作曲线 $y=x^3-x+2$ 的切线, 则这切线在 $x$ 轴上的截距为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $-2$
记曲线 $y=x^3+x^2, y=-x^2+k(4 < k < 5)$ 与 $y$ 轴围成的面积为$A$，这两条曲线与直线 $x=2$围成的面积为$B$，如图所示， $A=B$. 则 $k$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{25}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{13}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{14}{3}$
如图所示，四边形 $A B C D$ 内接于圆, $\overline{A B}=5, \overline{A C}=3 \sqrt{5}, \overline{A D}=7$, $\angle B A C=\angle C A D$. 则圆的半径为
$\text{A.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{8 \sqrt{2}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$
定义在全体实数上的连续函数 $f(x)$ 满足下列条件:
当 $n-1 < x < n$ 时， $|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|(n$ 为正整数 $)$ $\int_{\frac{1}{2}}^4 f(x) \mathrm{d} x$ 的值为
定义在开区间$(0,4)$上的函数 $ g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t-\int_x^4 f(t) \mathrm{d} t $ 若$g(x)$在 $x=2$ 处取得最小值，则 $\int_{\frac{1}{2}}^4 f(x) \mathrm{d} x$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
$f(x)$ 为多项式函数, $g(x)$ 定义如下
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
x & (x < -1 \text { 或 } x>1) \\
f(x) & (-1 \leq x \leq 1)
\end{array}\right.
$$
关于函数 $h(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} g(x+t) \times \lim _{t \rightarrow 2^{+}} g(x+t)$ 下下列说法正确的是
甲. $h(1)=3$
乙. $h(x)$ 在全体实数上连续
丙.若$g(x)$在区间$[-1,1]$上单调递减，且$g(-1)=-2$，则$h(x)$在全体实数上具有最小值
$\text{A.}$ 甲
$\text{B.}$ 乙
$\text{C.}$ 甲乙
$\text{D.}$ 甲丙
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{3 k}{n}}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{13}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{14}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
等比数列$a_n$满足 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n+1}{3^n+2^{2 n-1}}=3 $ 则 $a_2$值为
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 18
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 22