一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 3 \\ 0.8,3 \leqslant x < 5 \\ 1, x \geqslant 5\end{array}\right.$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(x)= \left\{\begin{array}{l}
0, x < 5 \\
0.2,5 \leqslant x < 7 \\
1, x \geqslant 7
\end{array}\right.$ 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(X+Y=10)=0.68$
$\text{B.}$ 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{C.}$ $X+Y=10$
$\text{D.}$ $P(X=3, Y=7)=0.64$
设总体 $X$ 的概率分布如下
从总体中抽取 $n$ 个简单随机样本, $N_1$ 表示 $n$ 个样本中取到 -1 的个数, $N_2$ 表示 $n$ 个样本中取 到 0 的个数, $N_3$ 表示 $n$ 个样本中取到 1 的个数, 则 $N_1$ 与 $N_2$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $1$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为从正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 中抽取的一个简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差, 令统计量 $T=\frac{2 \bar{X}}{S}$, 若 $P(T < -1)=0.15$, 则 $P(0 < T < 1)= $.
$\text{A.}$ 0.15
$\text{B.}$ 0.25
$\text{C.}$ 0.35
$\text{D.}$ 0.45
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且 $p(X=-1)=p(Y=-1)=0.5$, $p(X=1)=p(Y=1)=0.5$, 则
$\text{A.}$ $p(X=Y)=0.5$
$\text{B.}$ $p(X=Y)=1$
$\text{C.}$ $p(X+Y=0)=0.25$
$\text{D.}$ $p(X Y=1)=0.25$
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为总体 $X$ 的一组样本观测值, 则末知参数 $\theta$ 的极大似然估计值 $\hat{\theta}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{n}{\left(\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)^2}$
$\text{B.}$ $\frac{n^2}{\left(\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{n^2}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$
$\text{D.}$ $\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 且满足 $f(x)=f(-x), F(x)$ 为 $X$ 的分布函数, 则 对任意实数 $a$, 下列式子中成立的是
$\text{A.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a f(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $F(-a)=1-\int_0^a f(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $F(a)=F(-a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})$ 与 $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{y})$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的分布函数, 则随机 变量 $Z=\max \{X, Y\}$ 分布函数 $\boldsymbol{F}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})$ 为
$\text{A.}$ $\max \left\{F_X(z), F_Y(z)\right\}$
$\text{B.}$ $F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z) F_Y(z)$
$\text{C.}$ $F_X(z) F_Y(z)$
$\text{D.}$ $F_X(z)$ 或 $F_Y({z})$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.4 \Phi(2 x-1)+0.6 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 则 $E(X)=$ .
$\text{A.}$ -0.4
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ -0.8
$\text{D.}$ 0.8
下列命题中, 正确的是
$\text{A.}$ 若随机变量 $X, Y$ 服从标准正态分布, 则 $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$;
$\text{B.}$ 若随机变量 $X, Y$ 满足 $P\{X+Y=10\}=1$, 则 $\rho_{X Y}=-1$;
$\text{C.}$ 若随机变量 $X \sim N\left(0,3^2\right), Y \sim N\left(1,4^2\right)$, 则 $X+Y \sim N\left(1,5^2\right)$;
$\text{D.}$ 设随机变量 $X, Y$ 存在数学期望, 则 $X, Y$ 不相关的充要条件是 $E(X Y)=E(X) E(Y)$.
设 $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}2 \sin x, x \in[0, A \pi] \\ 0, x \notin[0, A \pi]\end{array}\right.$ 。若 $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ 是某随机变量的密度 函数, 则常数 $A=$
$\text{A.}$ $1 / 2$
$\text{B.}$ $1 / 3$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $3 / 2$
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$. 若这两个函数各有 2 个 间断点, 则随机变量 $X Y$ 的分布函数的间断点的个数不可能是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma^2, 1 ; \rho\right)$, 则随机变量 $X+Y$ 与 $X-Y$ 是 否相关
$\text{A.}$ 仅取决于 $\rho$ 的值.
$\text{B.}$ 仅取决于 $\sigma^2$ 的值.
$\text{C.}$ 取决于 $\rho, \sigma^2$ 的值.
$\text{D.}$ 以上说法均不正确.
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布列为
其分布函数为 $F(x)$ ，则 $F(3)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 1
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
c x^4, & x \in[0,1] \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} \text { ，则常数 } c=\right.
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim N(0,1)$ ，密度函数 $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ ，则 $\varphi(x)$ 的最大值是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 可取无穷多个值 $0,1,2, \ldots$, 其概率分布为 $p(k ; 3)=\frac{3^k}{k !} e^{-3}, k=0,1,2, \cdots$ ，则下式成立的是
$\text{A.}$ ${E X}={D} {X}={3}$
$\text{B.}$ $E X=D X=\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $E X=3, D X=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $E X=\frac{1}{3}, D X=9$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
独立随机变量 $X, Y$ ，若 $X \sim N(1,4), Y \sim N(3,16)$ ，下式中不成立的是
$\text{A.}$ $E(X+Y)=4$
$\text{B.}$ $E(X Y)=3$
$\text{C.}$ $D(X-Y)=12$
$\text{D.}$ $E(Y+2)=16$
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X \sim B(2, p), Y \sim B(3, p)$, 且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $P\{Y \geq 1\}=$
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1} \quad(-\infty < x < +\infty)$, 求 $E(X)$ 与 $D(X)$.
设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布, 求 $\frac{D(X)}{E\left(X^2\right)}$
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim U(0,1), Y \sim E(\lambda)$ 指数分布, 且 $Y$ 的数学期望为 $\frac{1}{2}$, 则概率
$$
P\left\{\max \{X, Y\}>\frac{1}{2}\right\}=
$$
设随机变量 $X \sim B(2, p)$, 若 $p(X \geq 1)=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布, 则 $P\{X \geq 0\}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则样本均值 $\bar{X} \sim N$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,5)$, 随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则概率 $P(X \leqslant Y+4)=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从均匀分布 $U(0, \theta)$, 则 $E[\min (X, Y)]=$
设随机变量 $X$ 在区间 $[1,6]$ 上服从均匀分布，则 $P\{1 < X < 3\}=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < -1 \\ 0.3, & -1 \leq x < 1 \\ 0.6, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2\end{array}\right.$, 则 $X$ 的分布律为
若离散型随机变量 $X$ 的分布律为
则常数 $a=$ ; 又 $Y=2 X+3$, 则 $P\{Y>5\}=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=A+B \arctan x \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求: (1). 系数 $A$ 与 $B$; (2). 概率 $P\{-1 < X < 1\} ;$ (3). 随机变量 $X$ 的密度函数.
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y=X^2+1$, 试求随机变量 $Y$ 的密度函数.
已知离散型随机变量的 $X$ 分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < -1 \\
0.4 & -1 \leq x < 1 \\
0.6 & 1 \leq x < 2 \\
1 & x \geq 2
\end{array} \text {, 求 }(1) X \text { 的概率分布; (2) } p(x < 2 \mid x \neq 1)\right. \text {. }
$$
（证明题）设 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布，证明: $Y=2 X^2$ 的密度函数当 $0 < y < 8$ 时， $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}$.
设二维连续型随机变皇 $(X, Y)$ 的概率密度函数为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C e^{-2 x}, & x>0,0 < y < x, \\
0, & \text { 其它. }
\end{array}\right.
$$
1. 确定常数 $C$ 的值;
2. 求 $X$ 与 $Y$ 边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$, 并判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立;
3. 求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}_{\mathrm{Z}}(z)$;
4. 求概率 $P(X \leq Y+2)$.
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}A \sin x, 0 < x < \pi \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$,
求: (1) 常数 $A$ 的值;
(2) 随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$;
(3) $P\left\{\frac{\pi}{3} \leq X \leq \frac{\pi}{2}\right\}$.
从一副 52 张扑克牌中任意取出 5 张. 设 $\boldsymbol{X}$ : 取出的 5 张牌中的“黑桃"张数.
(1) 求 $\boldsymbol{X}$ 的分布律 (5 分)；
(2) 写出 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数 $F(x)$ (4 分).
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
a x^2+b x+c & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
并且已知 $E(X)=0.5, \operatorname{var}(X)=0.15$ ，试求系数 $a, b, c$.
某种型号的电子元件的使用寿命 $X$ (单 位：小时）具有以下的密度函数：
$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1000}{x^2} & x>1000 \\ 0 & x \leq 1000\end{cases}
$$
(1) 求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 (4 分)；
(2) 已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时，求该元件的 使用寿命大于 2000 小时的概率 (5 分).