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yan20

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微,

f (0, 0) = 0, n = {(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1) |}_{(0, 0)}

且非零向量

d

与

n

垂直，则（）

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

B.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

D.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

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2. 设

R

为幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

的收敛半径,

r

是实数, 则 ( )

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \geq R

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \leq R

C.

| r | \geq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

D.

| r | \leq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

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3. 已知数列

{x_{n}}

, 其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

, 则

A.

当

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} \sin x_{n}

存在,

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} \cos x_{n}

存在,

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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4. 设

A, B

均为 3 阶矩阵, 则必有

A.

r (A, A B) = r (A)

.

B.

r (A, B A) = r (A)

.

C.

r (\begin{matrix} A \\ A B \end{matrix}) = r (A)

.

D.

r (A B) = r (B A)

.

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5. 下列集合构成向量空间的是

A.

V_{1} = {x ∣ A x = b}

B.

V_{2} = {x = {(1, x_{2}, x_{3})}^{T} ∣ x_{2}, x_{3} \in R}

C.

V_{3} = {x ∣ A x = O}

D.

V_{4} = {x = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T} ∣ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 在五阶行列式中项

a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}

的符号为

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7. 设行列式

| \begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array} | = 2

, 则

| \begin{array}{lll} 2 a_{1} + b_{1} & 3 b_{1} & c_{1} \\ 2 a_{2} + b_{2} & 3 b_{2} & c_{2} \\ 2 a_{3} + b_{3} & 3 b_{3} & c_{3} \end{array} | =

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8.

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

, 则

A^{T} B =

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9. 设矩阵

A

为 3 阶矩阵, 若已知

| A | = - 3

, 则

| A^{*} | =

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10. 已知向量

α = (1, 2, - 2)^{T}, β = (2, t, 3)^{T}

, 且

α

与

β

正交, 则

t =

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11. 求矩阵

(\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 6 \end{array})

的逆矩阵;

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三、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 设

0 < k < 1

, 且

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

, 证明:

lim_{n \to \infty} (a_{n} + k a_{n - 1} + \dots + k^{n - 1} a_{1} + k^{n} a_{0}) = \frac{a}{1 - k} .

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13. 设

f (x)

在

[0, 1]

上二阶连续可微, 且存在

M > 0

, 使得

| f^{''} (x) | \leq M, x \in [0, 1]

. 又设

f (x)

在

(0, 1)

内可取到最大值. 证明:

| f^{'} (0) | + | f^{'} (1) | \leq M

.

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14. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 证明函数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}

在

x \in [0, + \infty)

上一致收敛

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15. 设

f (x)

是

[0, + \infty)

上的可导函数，且导函数

f^{'}

处处连续，假设

\int_{0}^{+ \infty} f^{2} (x) d x

与

\int_{0}^{+ \infty} {[f^{'} (x)]}^{2} d x

均收敛，
证明

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

.

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16. 设

f (x)

是

[a, b]

上的连续函数，且

f (x) > 0 ， x \in [a, b]

.证明

lim_{p \to 0^{+}} {(\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f^{p} (x) d x)}^{\frac{1}{p}} = \exp {\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} \ln f (x) d x}

其中

\exp (t) = e^{t}

表示指数函数

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17. 设

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

为n个非零实数，证明n维欧氏空间

R^{n}

上定义的

n

元函数

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}

在条件

\frac{x_{1}}{a_{1}} + \frac{x_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{a_{n}} = 1

的最小值存在，并求解。

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18. 判断广义二重积分

\iint \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} d x d y

的敛散性，并结出理由。

{(x y, \in R^{2} ∣ x ⩾ 1, y ⩾ 1}

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19. 设D是由简单光滑闭曲线L围成的区域，

f (x, y)

在

\bar{D}

上有连续偏导，记

d = max_{(x y) \in D} \sqrt{x^{2} + y^{2}}

(1) 证明

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{L}^{(x y) \in D} x \cdot f d y - \iint_{D} x \cdot \frac{\partial f}{\partial x} d x d y

(2)若对

\forall (x, y) \in L

，有

f (x, y) = 0

. 证明

\iint_{D} f^{2} (x y) d x d y ⩽ d^{2} \iint_{D} [{(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2}] d x d y

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20. 证明实轴

R

不能分解为可数个长度大于零的不交闭区间的并。

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21. 假设定义在区间

(a, b)

上的函数

f

的左右导数处处存在，证明

f

至多在可数个点处不可导。

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22. 考虑无穷级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, x \in [- π, π]

1)证明级数在

x = 0, \pm π

处绝对收敛，在

(- π, 0) \cup (0, π)

上条件收敛；
2) 记极限函数为

S (x)

，证明

S (x)

是

[- π, 0) \cup (0, π]

上的连续函数；
3) 证明函数

S (x)

在 0 处不连续。

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23. 求积分

\int_{0}^{π} (\sin x)^{\frac{4}{3}} (\cos x)^{\frac{2}{3}} d x

的值.

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24. 证明: (1) 曲线积分

\int_{C} e^{- 2 x y} \cos (x^{2} - y^{2}) d x - e^{- 2 x y} \sin (x^{2} - y^{2}) d y

与路径无关;
(2) 证明:

lim_{R \to + \infty} (\int_{0}^{R} \cos x^{2} d x - \int_{0}^{R} e^{- 2 x^{2}} d x) = 0

;
(3) 证明:

lim_{R \to + \infty} (\int_{0}^{R} \sin x^{2} d x - \int_{0}^{R} e^{- 2 x^{2}} d x) = 0

.

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25. 设

f (x) \in R [x]

, 且

\deg f (x) > 1

, 证明: 存在非零多项式

g (x) \in

R [x]

, 使得

f (x) ∣ g (x^{8})

.

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26. 设向量组

a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性无关,

b_{1} = 3 a_{1} + a_{2} - a_{3}, b_{2} = 4 a_{1} + a_{2} - a_{3}, b_{3} = a_{2} + a_{3}

, 讨论向量组

b_{1}, b_{2}, b_{3}

的线性相关性。

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27. 设函数

f (x) = π - x

，其中

x \in [0, π]

.
（1）将

f (x)

展开为余弦级数，并在

[- π, π]

上写出和函数表达式.
(2) 判断该级数在

[0, π]

内是否一致收敛，并说明原因.

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28. 设

f_{n} (x) = n^{α} \cdot x e^{- n x}, (n = 1, 2, \dots)

，问:
(1) 当

α

为何值时，

{f_{n} (x)}

在

[0, 1]

上收敛?
(2) 当

α

为何值时，

{f_{n} (x)}

在

[0, 1]

上一致收敛?
(3) 当

α

为何值时，以下等式成立?

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} lim_{n \to + \infty} f_{n} (x) d x

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29. 解答如下问题:
(1) 叙述

R^{n}

上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的

x_{0} \in [a, b]

，有

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

，证明:

f (x) \in R [a, b] 且 \int_{a}^{b} f (x) d x = 0

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30. 证明: 函数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{n}}

在

(- \infty, + \infty)

上点点收敛，但并非一致收敛.

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31. (1) 证明: 狄利克雷积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin (α x)}{x} d x

在不含数值

α = 0

的每一个闭区间

[a, b]

上一致收敛，在每一个包含数值

α = 0

的闭区间

[a, b]

上非一致收敛.
(2) 已知

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}

，求

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin^{2} (x t)}{t^{2}} d t

，其中

x > 0

.

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32.

f (x)

为

[0, 2]

上的

C^{2}

函数, 且

f (0) = f (2) = 0

, 证明:

\int_{0}^{2} f (x) d x \leq \frac{2}{3} max_{x \in [0, 2]} | f^{''} (x) |

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33. 设

f

为定义在

R^{n}

上的函数.
(1) 函数

f

不一致连续的充分必要条件是: 存在点列

{x^{(n)}}

和

{y^{(n)}}

和常数

a

, 其中有

lim_{n \to \infty} | | x^{(n)} - y^{(n)} ∥ = 0

, 但对

n = 1, 2, \dots

, 都有

| F (x^{(n)}) - F (y^{(n)}) | \geq a

.
(2) 若

F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = f (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}), f

在

[0, + \infty)

上连续可导, 若

lim_{t \to + \infty} f^{'} (t) = b \neq 0

, 证明:

F

在

R^{n}

上不一致连续.

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34. 如果实系数多项式

f (x)

满足:

f (2 x^{2} + 1) = 2 [f (x)]^{2} + 1, (\forall x \in R), f (0) = 0 .

证明:

f (x) \equiv x, (\forall x \in R)

.

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35. 设

A

是

n

阶实矩阵，且

A^{2} = E

，证明:
(1)

r (A + E) + r (A - E) = n

.
(2)

A

与对角矩阵相似.
(3)

R^{n \times n} = V_{1} \oplus V_{2}

，其中

\begin{aligned} V_{1} = {X \in R^{n \times n} ∣ (A + E) X = 0}, \\ V_{2} = {X \in R^{n \times n} ∣ (A - E) X = 0} \end{aligned}

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36. 计算行列式

D = | \begin{array}{llll} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{array} |

的值

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37. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array})

, 求矩阵

A

的逆矩阵.

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38. 设

a b c \neq 0

, 求下列行列式的值:

| A | = | \begin{array}{lll} a + b & a^{- 1} + b^{- 1} & (a + b)^{2} + {(a^{- 1} + b^{- 1})}^{2} \\ b + c & b^{- 1} + c^{- 1} & (b + c)^{2} + {(b^{- 1} + c^{- 1})}^{2} \\ c + a & c^{- 1} + a^{- 1} & (c + a)^{2} + {(c^{- 1} + a^{- 1})}^{2} \end{array} | .

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39. 设

n

阶行列式

| A |

的第

(i, j)

元素

a_{i j} = C_{n i}^{j} (1 \leq i, j \leq n)

, 试求

| A |

的值.

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40. 设

n

阶三对角矩阵

A = (\begin{array}{ccccc} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array}),

其中

a \neq 0

. 请用初等变换法求

A^{- 1}

.

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