一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}$ = （ ）
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关.
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 在 $x=-1$ 处收敛,则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性不能确定.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 等于 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$ (常数 $\left.\alpha>0\right)(\quad)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关.
设常数 $\lambda>0$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\left|a_{n}\right|}{\sqrt{n^{2}+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\lambda$ 有关.
设 $u_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛.
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 常数 $\lambda \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(n \tan \frac{\lambda}{n}\right) a_{2 n}()$
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关.
设 $0 \leq a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则下列级数中肯定收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n^2$
设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\boldsymbol{\lambda}$ 有关
下述各选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $u_n \geq \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $u_n \geq v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也收敛
设数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列断言正确的是
$\text{A.}$ 若 $x_n$ 发散，则 $y_n$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $x_n$ 无界，则 $y_n$ 必有界
$\text{C.}$ 若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\frac{1}{x_n}$ 为无穷小，则 $y_n$ 必为无穷小
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，
$$
S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}+(-3)^{n}} x^{2 n-1}$ 的收敛半径 $R=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域是
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n}}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3 ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 收敛区间为
设函数 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=$
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n-(-1)^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n}}{n 3^{n}}$ 的收敛域.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性.
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：
(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛.
从点 $P_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $y=x^2$ 于点 $Q_1(1,1)$ ，再从 $Q_1$ 作这条抛物线的切线与 $x$ 轴交于 $P_2$ ，然后又从 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $Q_2$ ，依次重复上述过程得到一系列的点 $P_1, Q_1, P_2, Q_2, \cdots, P_n, Q_n, \cdots$.
(1) 求 $\overline{O P_n}$;
(2) 求级数 $\overline{Q_1 P_1}+\overline{Q_2 P_2}+\cdots+\overline{Q_n P_n}+\cdots$ 的和. 其 中 $n(n>0)$ 为自然数， $\overline{M_1 M_2}$ 表示点 $M_1$ 与 $M_2$ 之间的距离.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\ldots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减少，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散，试问级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$ 是否收敛? 并说明理由.
设有两条抛物线
$$
y=n x^2+\frac{1}{n} \text { 和 } y=(n+1) x^2+\frac{1}{n+1} \text {, }
$$
记它们交点的横坐标的绝对值为 $a_n$.
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 $S_n$ ；
(2) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{a_n}$ 的和.
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$.
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=0}^{\infty} I_n$.
已知 $f_n(x)$ 满足 $f_n^{\prime}(x)=f_n(x)+x^{n-1} e^x$ ( $n$ 为正整数)且 $f_n(1)=\frac{e}{n}$ ，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 之和.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$ ；
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$;
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
求幂级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}(|x| < 1)$ 的和函数 $f(x)$ 及其极值.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$.
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) .$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求之.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $s(x)$.