一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
《义务教育课程标准 (2022 年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程, 并做出 明确规定. 某班有 7 名学生已经学会炒的菜品的种数依次为: $3,5,4,6,3,3,4$. 则 这组数据的众数和中位数分别是（ )
$\text{A.}$ 3,4
$\text{B.}$ 4,3
$\text{C.}$ 3,3
$\text{D.}$ 4,4
已知拋物线 $v=x^{2}+m x$ 的对称轴为直线 $x=2$, 则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+m x=5$ 的根是 ( )
$\text{A.}$ $0,4$
$\text{B.}$ $1,5$
$\text{C.}$ $1,-5$
$\text{D.}$ $-1,5$
已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 为直线 $y=-2 x+3$ 上的三个点, 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$, 则以下判断正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $x_{1} x_{2}>0$, 则 $y_{1} y_{3}>0$
$\text{B.}$ 若 $x_{1} x_{3} < 0$, 则 $y_{1} y_{2}>0$
$\text{C.}$ 若 $x_{2} x_{3}>0$, 则 $y_{1} y_{3}>0$
$\text{D.}$ 若 $x_{2} x_{3} < 0$, 则 $y_{1} y_{2}>0$
如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $A D=2 A B=2, \angle A B C=60^{\circ}, E, F$ 是对角线 $B D$ 上的动点, 且 $B E=D F, M, N$ 分别是边 $A D$, 边 $B C$ 上的动点. 下列四种说法:
(1)存在无数个平行四边形 MENF；
(2)存在无数个矩形 $M E N F$;
(3)存在无数个菱形 $M E N F$ ；
(4)存在无数个正方形 MENF.
其中正确的个数是（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知点 $P(a, b)$ 在直线 $y=-3 x-4$ 上, 且 $2 a-5 b \leqslant 0$, 则下列不等式一定成立的是 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{a}{b} \geqslant \frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{b}{a} \geqslant \frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{b}{a} \leqslant \frac{2}{5}$
已知三角形 $\mathrm{ABE}$ 为直角三角形, $\angle \mathrm{ABE}=90^{\circ}, \mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 切线, $\mathrm{C}$ 为切点, $\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle$ $\mathrm{CDE}$ 面积之比为（）
$\text{A.}$ $1: 3$
$\text{B.}$ $1: 2$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}: 2$
$\text{D.}$ $1: 5$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=5$, 点 $D$ 在 $A C$ 上, 且 $A D=2$, 点 $E$ 是 $A B$ 上 的动点, 连结 $D E$, 点 $F, G$ 分别是 $B C$ 和 $D E$ 的中点, 连结 $A G, F G$, 当 $A G=F G$ 时, 线段 $D E$ 长为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{13}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{41}}{2}$
$\text{D.}$ $4$
将一张以 $A B$ 为边的矩形纸片, 先沿一条直线前掉一个直角三角形, 在剩下的纸片中, 再沿一条直线前掉一个直角三角形（剪掉的两个 直角三角形相似), 剌下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$, 其中 $\angle A=90^{\circ}, A B=9, B C=7, C D=6, A D=2$, 则剪掉的两个 直角三角形的斜边长不可能是
$\text{A.}$ $\frac{25}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{45}{4}$
$\text{C.}$ $10$
$\text{D.}$ $\frac{35}{4}$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知二元一次方程 $x+3 y=14$, 请写出该方程的一组整数解 （ ）
分式方程 $\frac{2}{x}=\frac{5}{x+3}$ 的解为
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A(0,4), B(3,4)$, 将 $\triangle A B O$ 向右平移到 $\triangle C D E$ 位置, $A$ 的对应点 是 $C, O$ 的对应点是 $E$, 函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $C$ 和 $D E$ 的中点 $F$, 则 $k$ 的值是
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=40^{\circ}, \angle B A C=80^{\circ}$, 以点 $A$ 为 圆心, $A C$ 长为半径作弧, 交射线 $B A$ 于点 $D$, 连结 $C D$, 则 $\angle B C D$ 的度数是
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=30^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}, A B=2$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向运动, 到达点 $B$ 时停止运动, 连结 $C P$, 点 $A$ 关于直线 $C P$ 的对称点为 $A^{\prime}$, 连结 $A^{\prime} C, A^{\prime} P$. 在运 动过程中, 点 $A^{\prime}$ 到直线 $A B$ 距离的最大值是 （ ） ; 点 $P$ 到达点 $B$ 时, 线段 $A^{\prime} P$ 扫过的面积 为 （ ）
如图, $A B=10$, 点 $C$ 在射线 $B Q$ 上的动点, 连结 $A C$, 作 $C D \perp A C, C D=A C$, 动点 $E$ 在 $A B$ 延长线上, $\tan \angle Q B E=3$, 连结 $C E, D E$, 当 $C E=D E, C E \perp D E$ 时, $B E$ 的长是
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是直角三角形, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=5, \mathrm{AE}=2 \sqrt{5}$, 连接 $\mathrm{CE}$ 以 $\mathrm{CE}$ 为底作直角三角形 $\mathrm{CDE}$ 且 $\mathrm{CD}=\mathrm{DE}$ 。 $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{AE}$ 边上的一点, 连接 $\mathrm{BD}$ 和 $\mathrm{BF}, \mathrm{BD}$ 且 $\angle \mathrm{FBD}=45^{\circ}$, 则 $\mathrm{AF}$ 长为
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知函数 $y=-x^{2}+b x+c(b, c$ 为常数） 的图象经过点 $(0,-3),(-6,-3)$.
(1) 求 $b, c$ 的值.
(2) 当 $-4 \leqslant x \leqslant 0$ 时, 求 $y$ 的最大值.
(3) 当 $m \leqslant x \leqslant 0$ 时, 若 $y$ 的最大值与最小值之和为 2 , 求 $m$ 的值.
圭表（如图 1) 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器, 它包括一根直立的标竿（称为 “表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为 “圭”), 当正午太阳照射在表上时, 日影 便会投影在圭面上, 圭面上日影长度最长的那一天定为冬至, 日影长度最短的那一天定为夏至. 图 2 是一个根据 某市地理位置设计的圭表平面示意图, 表 $A C$ 垂直圭 $B C$, 已知该市冬至正午太阳高度角（即 $\angle A B C$ ）为 $37^{\circ}$, 夏至正午太阳高度角 (即 $\angle A D C$ ）为 $84^{\circ}$, 圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $D B$ 的长）为 4 米.
(1) 求 $\angle B A D$ 的度数.
(2) 求表 $A C$ 的长（最后绝果精确到 $0.1$ 來).
(参考数据: $\sin 37^{\circ} \approx \frac{3}{5}, \cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}, \tan 37^{\circ} \approx \frac{3}{4}, \tan 84^{\circ} \approx \frac{19}{2}$ )
21. 如图, 半径为 6 的 $\odot O$ 与 Rt $\triangle A B C$ 的边 $A B$ 相切于点 $A$, 交边 $B C$ 于点 $C, D, \angle B=90^{\circ}$, 连结 $O D, A D$.
(1) 若 $\angle A C B=20^{\circ}$, 求 $\overparen{A D}$ 的长 (结果保留 $\pi$ ).
(2) 求证: $A D$ 平分 $\angle B D O$.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=40^{\circ}, \angle A C B=90^{\circ}, A E$ 平分 $\angle B A C$ 交 $B C$ 于点 $E . P$ 是边 $B C$ 上的动点（不与 $B$, $C$ 重合), 连结 $A P$, 将 $\triangle A P C$ 沿 $A P$ 翻折得 $\triangle A P D$, 连结 $D C$, 记 $\angle B C D=\alpha$.
(1) 如图, 当 $P$ 与 $E$ 重合时, 求 $\alpha$ 的度数.
(2) 当 $P$ 与 $E$ 不重合时, 记 $\angle B A D=\beta$, 探究 $\alpha$ 与 $\beta$ 的数量关系.
(1) 发现: 如图①所示, 在正方形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点。求证： $\triangle \mathrm{BFG} \cong \triangle \mathrm{BCG}$.
(2) 探究: 如图②, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 且 $\mathrm{AD}=8, \mathrm{AB}=6$ 。将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{BC}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点, 延长 $\mathrm{BF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于点 $\mathrm{H}$, 且 $\mathrm{FH}=\mathrm{CH}$, 求 $\mathrm{AE}$ 的长.
(3) 拓展: 如图③, 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{CD}$ 边上的三等分点, $\angle \mathrm{D}=60 \%$ 将 $\triangle \mathrm{ADE}$ 沿 $\mathrm{AE}$ 翻折得到 $\triangle \mathrm{AFE}$, 直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P$, 求 $P C$ 的长.
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=6, B C=8$, 动点 $E$ 从点 $A$ 出发, 沿边 $A D, D C$ 向点 $C$ 运动, $A, D$ 关于直线 $B E$ 的对称点分别为 $M, N$, 连结 $M N$.
(1) 如图, 当 $E$ 在边 $A D$ 上且 $D E=2$ 时, 求 $\angle A E M$ 的度数.
(2) 当 $N$ 在 $B C$ 延长线上时, 求 $D E$ 的长, 并判断直线 $M N$ 与直线 $B D$ 的位置关系, 说明理由.
(3) 当直线 $M N$ 恰好经过点 $C$ 时, 求 $D E$ 的长.
若关于 $x$ 的函数 $\mathrm{y}$, 当 $\mathrm{t}-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 的最大值为 $\mathrm{M}$, 最小值为 $\mathrm{N}$, 令函数 $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}$, 我们不妨把函数 $\mathrm{h}$ 称之为函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数”.
(1) (1) 若函数 $\mathrm{y}=4044 x$, 当 $\mathrm{t}=1$ 时, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的值;
(2)若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{k} x+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0, \mathrm{k} ， \mathrm{~b}$ 为常数)，求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的解析式;
(2) 若函数 $\mathrm{y}=\frac{2}{x}(x \geqslant 1)$, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的最大值;
(3) 若函数 $\mathrm{y}=-x^{2}+4 x+\mathrm{k}$ ，是否存在实数 $\mathrm{k}$, 使得函数 $\mathrm{y}$ 的最大值等于函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同 体函数” $\mathrm{h}$ 的最小值, 若存在, 求出 $\mathrm{k}$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
如图, 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 内接于 $\odot 0$, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{E}$, 点 $\mathrm{F}$ 在边 $\mathrm{AD}$ 上, 连 接 EF.
(1) 求证: $\triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{DCE}$;
(2) 当 $\widehat{\mathrm{DC}}=\widehat{\mathrm{CB}}, \angle \mathrm{DFE}=2 \angle \mathrm{CDB}$ 时, 则 $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}-\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CE}}= ; \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{AD}}=$; $\frac{1}{\mathrm{AB}}+\frac{1}{\mathrm{AD}}-\frac{1}{\mathrm{AF}}=$ (直接将结果填写在相应的横线上）
(3) (1)记四边形 $\mathrm{ABCD}, \triangle \mathrm{ABE}, \triangle \mathrm{CDE}$ 的面积依次为 $\mathrm{S}, \mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}$, 若满足 $\sqrt{\mathrm{S}}=\sqrt{\mathrm{S}_{1}}+\sqrt{\mathrm{S}_{2}}$,
试判断 $\triangle A B E, \triangle C D E$ 的形状, 并说明理由.
(2)当 $\widehat{D C}=\widehat{C B}, A B=m, A D=n, C D=p$ 时, 试用含 $m, n, p$ 的式子表示 $A E \cdot C E$.
