将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

如图, $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 都是边长为 2 的等边三角形, 它们的边 $B C$, $E F$ 在同一条直线 $l$ 上, 点 $C, E$ 重合. 现将 $\triangle A B C$ 在直线 $l$ 向右移动, 直至点 $B$ 与 $F$ 重 合时停止移动. 在此过程中, 设点 $C$ 移动的距离为 $x$, 两个三角形重叠部分的面积为 $y$, 则 $y$ 随 $x$ 变化的函数图象大致为 ( )

如图, 分别以正方形 $A B C D$ 的两条边 $A D 、 C D$ 为边向外作两个正三角形, 即 $\triangle A D G$ 与 $\triangle C$ $D F$, 然后延长 $G A, F C$ 交于点 $E$, 得到一个 “镖型” $A B C E$. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 , 则 “镖 型” $A B C E$ 的周长为

在一平面内, 线段 $A B=8$, 线段 $B C=C D=D A=4$, 将四条线段首尾顺次相接, 把 $A B$ 固定, 当 $A D$ 绕点 $A$ 从 $A B$ 开始逆时针旋转到某一位置时, $B C, C D$ 将 会跟随出现到相应的位置 (如图), 取线段 $C D$ 的中点 $M$, 转 动过程中点 $M$ 与点 $B$ 距离不可能是

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=30^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}, A B=2$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向运动, 到达点 $B$ 时停止运动, 连结 $C P$, 点 $A$ 关于直线 $C P$ 的对称点为 $A^{\prime}$, 连结 $A^{\prime} C, A^{\prime} P$. 在运 动过程中, 点 $A^{\prime}$ 到直线 $A B$ 距离的最大值是 （　　） ; 点 $P$ 到达点 $B$ 时, 线段 $A^{\prime} P$ 扫过的面积 为 （　　）

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, A D=5$, 点 $E, F$ 分别是边 $A B$, $B C$ 上的动点, 点 $E$ 不与 $A, B$ 重合, 且 $E F=A B, G$ 是五边形 $A E F C D$ 内满足 $G E=G F$ 且 $\angle E G F=90^{\circ}$ 的点. 现给出以下结论:
(1) $\angle G E B$ 与 $\angle G F B$ 一定互补;
(2)点 $G$ 到边 $A B, B C$ 的距离一定相等;
(3)点 $G$ 到边 $A D, D C$ 的距离可能相等;
(4) 点 $G$ 到边 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$.
其中正确的是 （　　）

(1) 发现: 如图①所示, 在正方形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点。求证： $\triangle \mathrm{BFG} \cong \triangle \mathrm{BCG}$.
(2) 探究: 如图②, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 且 $\mathrm{AD}=8, \mathrm{AB}=6$ 。将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{BC}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点, 延长 $\mathrm{BF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于点 $\mathrm{H}$, 且 $\mathrm{FH}=\mathrm{CH}$, 求 $\mathrm{AE}$ 的长.
(3) 拓展: 如图③, 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{CD}$ 边上的三等分点, $\angle \mathrm{D}=60 \%$ 将 $\triangle \mathrm{ADE}$ 沿 $\mathrm{AE}$ 翻折得到 $\triangle \mathrm{AFE}$, 直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P$, 求 $P C$ 的长.

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=6, B C=8$, 动点 $E$ 从点 $A$ 出发, 沿边 $A D, D C$ 向点 $C$ 运动, $A, D$ 关于直线 $B E$ 的对称点分别为 $M, N$, 连结 $M N$.
(1) 如图, 当 $E$ 在边 $A D$ 上且 $D E=2$ 时, 求 $\angle A E M$ 的度数.
(2) 当 $N$ 在 $B C$ 延长线上时, 求 $D E$ 的长, 并判断直线 $M N$ 与直线 $B D$ 的位置关系, 说明理由.
(3) 当直线 $M N$ 恰好经过点 $C$ 时, 求 $D E$ 的长.

在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C=5, \tan B=\frac{3}{4}$, 点 $D 、$ 点 $E$ 分别是 $A B 、 B C$ 边上的动点.
(1) 连接 $D E$, 作 $\triangle B D E$ 关于 $D E$ 的对称图形 $\triangle B^{\prime} D E$.
(1) 如图 1, 当点 $B^{\prime}$ 恰好与点 $C$ 重合, 求 $D E$ 的长;
(2)如图 2, 当点 $B^{\prime}$ 落在 $A C$ 的延长线上, 且 $B^{\prime} E \perp A B$, 求 $B D$ 的长;
(2) 在点 $D 、 E$ 运动过程中, 满足 $C D^2=C E \cdot C B$, 过点 $C$ 作 $C F \perp C D$ 交射线 $D E$ 于点 $F$, 是否存在某个位置,
使得 $F D=F B$ ? 若存在, 求出此时 $A D$ 的长; 若不存在, 请说明理由.

如图, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=60^{\circ}$, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, A C$ 上一动点, 连接 $B E$ 交直线 $C D$ 于点 $F$.
(1) 如图 1, 若 $A B>A C$, 且 $B D=C E, \angle B C D=\angle C B E$, 求 $\angle C F E$ 的度数;
(2) 如图 2, 若 $A B=A C$, 且 $B D=A E$, 在平面内将线段 $A C$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $C M$, 连接 $M F$, 点 $N$ 是 $M F$ 的中点, 连接 $C N$. 在点 $D, E$ 远动过程中, 猜想线段 $B F, C F, C N$ 之间存在的数量关系， 并证明你的猜想:
(3) 若 $A B=A C$, 且 $B D=A E$, 将 $\triangle A B C$ 沿直线 $A B$ 翻折至 $\triangle A B C$ 所在平面内得到 $\triangle A B P$, 点 $H$ 是 $A P$ 的中 点,点 $K$ 是线段 $P F$ 上一点, 将 $\triangle P H K$ 沿直线 $H K$ 翻折至 $\triangle P H K$ 所在平面内得到 $\triangle Q H K$, 连接 $P Q$. 在点 $D, E$ 动过程中, 当线段 $P F$ 取得最小值, 且 $Q K \perp P F$ 时, 请直接写出 $\frac{P Q}{B C}$ 的值.

过四边形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 作射线 $A M, P$ 为射线 $A M$ 上一点, 连接 $D P$. 将 $A P$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转至 $A Q$, 记旋转角 $\angle P A Q=\alpha$, 连接 $B Q$.
(1)【探究发现】如图 1, 数学兴趣小组探究发现, 如果四边形 $A B C D$ 是正方形, 且 $\alpha=90^{\circ}$. 无论点 $P$ 在何处, 总有 $B Q=D P$, 请证明这个结论.
(2)【类比迁移】如图 2, 如果四边形 $A B C D$ 是菱形, $\angle D A B=\alpha=60^{\circ}, \angle M A D=15^{\circ}$, 连接 $P Q$. 当 $P Q \perp B Q, A B=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 时, 求 $A P$ 的长;


(3)【拓展应用】如图 3, 如果四边形 $A B C D$ 是矩形, $A D=6, A B=8, A M$ 平分 $\angle D A C$, $\alpha=90^{\circ}$. 在射线 $A Q$ 上截取 $A R$, 使得 $A R=\frac{4}{3} A P$. 当 $\triangle P B R$ 是直角三角形时, 请直 接写出 $A P$ 的长.

在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$, 点 $D$ 为线段 $A B$ 上一动点, 连接 $C D$.
(1) 如图 1, 若 $A C=9, B D=\sqrt{3}$, 求线段 $A D$ 的长.
(2) 如图 2, 以 $C D$ 为边在 $C D$ 上方作等边 $\triangle C D E$, 点 $F$ 是 $D E$ 的中点, 连接 $B F$ 并延长, 交 $C D$ 的延长线于点
$G$. 若 $\angle G=\angle B C E$, 求证: $G F=B F+B E$.
(3) 在 $C D$ 取得最小值的条件下, 以 $C D$ 为边在 $C D$ 右侧作等边 $\triangle C D E$. 点 $M$ 为 $C D$ 所在直线上一点, 将 $\triangle B E M$ 沿 $B M$ 所在直线翻折至 $\triangle A B C$ 所在平面内得到 $\triangle B N M$. 连接 $A N$, 点 $P$ 为 $A N$ 的中点, 连接 $C P$, 当 $C P$ 取最大值时, 连接 $B P$, 将 $\triangle B C P$ 沿 $B C$ 所在直线翻折至 $\triangle A B C$ 所在平面内得到 $\triangle B C Q$, 请直接写出 此时 $\frac{N Q}{C P}$ 的值.