一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是抛物线 $y=a x^{2}-2 a x$ 上的点, 下列命题正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|>\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1}>y_{2}$
$\text{B.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|>\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1} < y_{2}$
$\text{C.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|=\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1}=y_{2}$
$\text{D.}$ 若 $y_{1}=y_{2}$, 则 $x_{1}=x_{2}$
若 $\frac{a^2}{a^2-2}=\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$, 则 $\left(\frac{1}{1-a}-\frac{1}{1+a}\right) \div\left(\frac{a}{a^2-1}+a\right)$ 的值是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
分解因式 $x^2+a x+b$ 时, Jagger看错了 $a$ 的值, 分解的结果是 $(x+6)(x-1), M e g$ 看错了 $b$ 的值, 分解的结果是 $(x$ $-2)(x+1)$, 那么正确的分解因式的结果是
$\text{A.}$ $(x+6)(x-2)$
$\text{B.}$ $(x+2)(x-3)$
$\text{C.}$ $(x+6)(x+1)$
$\text{D.}$ $(x-2)(x+3)$
如图, 平行四边形 $A B C D$ 中, $P$ 是四边形内任意一点, $\triangle A B P, \triangle B C P, \triangle C D P, \triangle A D P$的面积分别为 $S_1, S_2, S_3, S_4$, 则一定成立的是
$\text{A.}$ $S_1+S_2=S_3+S_4$
$\text{B.}$ $S_1+S_2>S_3+S_4$
$\text{C.}$ $S_1+S_3=S_2+S_4$
$\text{D.}$ $S_1+S_2 < S_3+S_4$
对任意的整数 $x, y$, 定义 $x @ y=x+y-x y$, 则使得 $(x @ y) @ z+(y @ z) @ x+(z @ x) @ y$ $=0$ 的整数组 $(x, y, z)$ 的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
满足 $\left(x^2+x-1\right)^{x+2}=1$ 的整数 $x$ 的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $M=\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\cdots+\frac{1}{2050}$, 则 $\frac{1}{M}$ 的整数部分是
$\text{A.}$ 60
$\text{B.}$ 61
$\text{C.}$ 62
$\text{D.}$ 63
已知 $x_1, x_2, x_3\left(x_1 < x_2 < x_3\right)$ 为关于 $x$ 的方程 $x^3-3 x^2+(a+2) x-a=0$ 的三个实数根, 则 $4 x_1-x_1^2+x_2^2+x_3^2=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
方程 $\sqrt{3+\sqrt{9+x}}=\sqrt[3]{x}$ 的实数根的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
如图, $\triangle A B P$ 为圆锥经过底面直径 $A B$ 的最大截面, $A B=6, P B=9$, 点 $C$ 为母线 $P B$ 的中点. 一只蜘蛛要从点 $A$ 沿圆雉侧面爬到点 $C$, 则该蜘蛛要爬的最短路径长为
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ $\frac{9}{2} \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $63 \sqrt{3}$
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A C$ 为对角线, 已知 $P 、 Q$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A C D$ 内角平分线的交点,若 $\angle A P C+\angle A Q C=250^{\circ}$, 则 $\angle B A D+\angle B C D$ 的值为
$\text{A.}$ $220^{\circ}$
$\text{B.}$ $230^{\circ}$
$\text{C.}$ $240^{\circ}$
$\text{D.}$ $250^{\circ}$
如图, 四边形 $A B C D$ 是菱形, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, A C=6 \sqrt{3}, B D=6$, 点 $P$ 是 $A C$ 上一动点,点 $E$ 是 $A B$ 的中点, 则 $P D+P E$ 的最小值为
$\text{A.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $6 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $6 \sqrt{2}$
已知点 $E, F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $C D, A D$ 上, $C D=4 C E, \angle E F B=\angle F B C$, 则 $\tan \angle A B F=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=8$, $B C=6$ 将边 $B C$ 沿 $C N$ 折叠, 使点 $\mathrm{B}$ 落在 $A B$ 上的点 $B^{\prime}$ 处, 再将边 $A C$沿 $C M$ 折叠, 使点 $\mathrm{A}$ 落在 $C B^{\prime}$ 的延长线上的点 $A^{\prime}$ 处, 两条折痕与斜边 $A B$ 分别交于点 $\mathrm{N} 、 \mathrm{M}$, 则线段 $A^{\prime} M$ 的长为
$\text{A.}$ $\frac{9}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{8}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{6}{5}$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若实数 $x, y$ 满足 $x^3+y^3+\frac{1}{4}(x+y)=\frac{15}{2}$, 则 $x+y$ 的最大值为
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=1$, 则 $\frac{a^5+b^5+c^5}{a b c}=$
已知 $p, q, r$ 为素数, 且 $p q r$ 整除 $p q+q r+r p-1$, 则 $p+q+r=$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
联合国教科文组织将每年的 3 月 14 日定为 “国际数学日”. 某校九年级在三月份开展了以 “数学文化” 为主题的阅读活动, 并随机抽查了部分学生在活动期间阅读相关文章的節数.
收集数据:
$$ \begin{align}
15 \quad 12 \quad18 \quad15 \quad13 \quad15 \quad 15 \quad 12 \quad 18 \quad 13 \\
18 \quad 15 \quad 13 \quad 15 \quad 12 \quad 15 \quad 13 \quad 15 \quad 18 \quad 18
\end{align}
$$
整理数据:
请你根据提供的信息解答下列问题:
(1) 直接写出 $m$ 的值及学生阅读篇数的中位数:
(2) 求本次调查学生阅读篇数的平均数:
(3) 若该年级大约有 300 名学生, 请你估计该校九年级学生阅读关于 “数学文化” 的文章共多少篇?
在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $D E \perp A B$ 于点 $E$.在线段 $A D$ 上任取一点 $P$, 以 $P B$ 为一边, 在 $P B$ 的下方作 $\angle B P Q=60^{\circ}, P Q$ 交 $D E$ 延长线于点 $Q$. 请判断线段 $D A, D P, D Q$ 之间的数量关系, 并证明你的结论.
【课本再现】(1) 如图 1, 正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$, 点 $O$ 又是正方形 $A_1 B_1 C_1 O$ 的一个顶点. 在实验与探究中, 小州发现近过证明 $\triangle B O E \cong \triangle C O F$, 可得 $O E=O F$. 请帮助小州完成证明过程:
【类比探究】(2) 如图 2, 若四边形 $A B C D$ 是矩形, $O$ 为对角线 $B D$ 上任意一点, 过 $O$ 作 $O F \perp O A$,交 $B C$ 于点 $F$, 当 $B C=2 A B$ 时, 求证: $O A=2 O F$ :
【拓展提升】(3) 如图 3, 若四边形 $A B C D$ 是平行四边形, $O$ 为对角线 $B D$ 上任意一点, 点 $F$ 在 $B C$ 上, 且 $\angle A O F=\angle B A D$, 求证: $\frac{O F}{O A}=\frac{A B}{B C}$.
行驶中的汽车刹车后, 由于惯性还会继续向前滑行一段距离, 这段距离称为 “刹车距离”. 已知汽车 $A$ 刹车后刹车距离 $y$ (单位: $m$ ) 与刹车时的速度 $x$ (单位: $m / s$ ) 的函数关系满足 $y=a x^2+b x$. 当汽车的速度为 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时, 刹车距离为 $17 \mathrm{~m}$ ；当汽车的速度为 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时, 刹车距离为 $50 \mathrm{~m}$.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式;
( 2 ) 行驶中的汽车 $A$ 突然发现正前方 $100 \mathrm{~m}$ 处有一辆抛针的危险用品运输车, 紧急刹车, 此时汽车 $A$ 的速度为 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 通过计算判断汽车 $A$ 是否会撞上运输车;
(3) 若汽车 $B$ 刹车后刹车距离 $y$ (单位: $m$ ) 与刹车时的速度 $x$ (单位: $k m / h$ ) 的函数关系满足 $y=\frac{3}{50} x^2+c x(c>0)$, 当 $30 \leq$ $x \leq 50$ 时, 在相同的车速下汽车 $A$ 的“刹车距离”始终比汽车 $B$ 的“刹车距离”大, 直接写出 $c$ 的取值范围.
小伟遇到这样一个问题: 如图 1, 在 $\triangle A B C$ (其中 $\angle B A C$ 是一个可以变化的角) 中, $A B=2, A C=4$, 以 $B C$ 为边在 $B C$ 的下方作等边 $\triangle P B C$, 求 $A P$ 的最大值.
小伟是这样思考的: 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点 $B$ 为旋转中心将 $\triangle A B P$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle$ $A^{\prime} B C$, 连接 $A^{\prime} A$, 当点 $A$ 落在 $A^{\prime} C$ 上时, 此题可解 (如图2).
请你回答: $A P$ 的最大值是
参考小伟同学思考问题的方法, 解决下列问题:
如图3, 等腰Rt $\triangle A B C$. 边 $A B=4, P$ 为 $\triangle A B C$ 内部一点, 则 $A P+B P+C P$ 的最小值是 . ( 结果可以不化简)
求所有的 $a$, 使 $\left|x^2+a x+2\right| \geqslant|x+1|$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立
在无穷大的单位方格表中放置若干个国际象棋中的象和马. 已知:
- 对每个象，存在一个马在象所在的对角线上，中间允许有其他棋子;
- 对每个马，存在一个象与马的距离恰为 $\sqrt{5}$ ；
- 当任意去掉一个棋子时，上面两个条件不全成立.
若 $n$ 是棋子的总数，求 $n$ 的所有可能值.
称简单图 $G$ 是可染色的，如果可以将每条边染为蓝、红、绿、白之一，使得
- 对 $G$ 中每个度为 3 的顶点 $v$ ，以 $v$ 为端点的三条边要么蓝红绿各一条、要么全是白色;
- 存在非白色的边.
设 $G$ 是一个简单连通图，有 $a$ 个顶点的度为 $4 、 b$ 个顶点的度为 3 ，且没有其他顶点，其中 $a, b$ 是正整数. 求最小的实数 $c$ ，使得若 $\frac{a}{b}>c$ ，则 $G$ 是可染色的.