定积分的计算-数学组卷-自助组卷

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定积分的计算

数学

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 若

f (x) = {\begin{cases} x, x ⩾ 0, \\ e^{x}, x < 0, \end{cases}

则

\int_{- 1}^{2} f (x) d x =

.

A.

3 - e^{- 1}

.

B.

3 + e^{- 1}

.

C.

3 - e

D.

3 + e +

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2.

\int_{0}^{π} \sin x d x = ()

.

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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3.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin x d x =

.

A.

π - 2

.

B.

\frac{1}{4} π

C.

\frac{1}{2} π

.

D.

- π

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

4.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x e^{x^{4}} + \cos x) d x =

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5. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

.

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6. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，

x \in (a, b)

，证明:

lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f (t + h) - f (t)] d t = f (x) - f (a) .

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7. 求

\int_{- 1}^{1} {(2 x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} d x

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 求定积分:

\int_{0}^{1} \ln (1 + \sqrt{x}) d x

.

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9. 求定积分:

\int_{0}^{1} \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x

.

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10. 已知

f (x) = x^{3} + \int_{0}^{2} f (x) d x

, 求

f (x)

.

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11. 求

\int_{0}^{3} (x + 1) \ln \sqrt{x + 1} d x

.

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12. 求积分

\int_{0}^{e} \cos (\ln x) d x

的值。

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13. 计算定积分

\int_{0}^{π} \sqrt{\sin x - \sin^{3} x} d x

.

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14. 计算积分

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

.

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15. 求定积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x - 5} d x

.

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16. 计算

\int_{- 1}^{1} \frac{x + 2}{e^{x} + e^{- x}} d x

.

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17. 求极限

l = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{n + i}

.

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18. 计算定积分

I = \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x

.

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19. 计算

\int_{0}^{π} \frac{x}{2 + \sin x} d x

.

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