一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \geqslant 0, \\ \mathrm{e}^x, x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^2 f(x) \mathrm{d} x= $.
$\text{A.}$ $3-\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{B.}$ $3+\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{C.}$ $3-\mathrm{e}$
$\text{D.}$ $3+\mathrm{e}+$
$\int_0^\pi \sin x \mathrm{~d} x=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \mathrm{~d} x=$.
$\text{A.}$ $\pi-2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \pi$.
$\text{D.}$ $-\pi$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \mathrm{e}^{x^4}+\cos x\right) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $x \in(a, b)$ ，证明:
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_a^x[f(t+h)-f(t)] \mathrm{d} t=f(x)-f(a) .
$$
求 $\int_{-1}^1\left(2 x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 d x$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求定积分: $\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
求积分 $\int_0^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x$ 的值。
计算定积分 $\int_0^\pi \sqrt{\sin x-\sin ^3 x} d x$.
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x-5} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-1}^1 \frac{x+2}{e^x+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^\pi \frac{x}{2+\sin x} \mathrm{~d} x$.