高数基础阶段测试 2-数学组卷-自助组卷

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高数基础阶段测试 2

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

在

x = a

处可导, 则

lim_{x \to a} \frac{f (x) a^{3} - f (a) x^{3}}{a^{2} - x^{2}} =

A.

3 a^{2} f^{'} (a) + 2 f (a)

B.

- \frac{a^{2}}{3} f^{'} (a) + \frac{1}{2} f (a)

C.

3 a^{2} f^{'} (a) - \frac{2}{3} f (a)

D.

- \frac{a^{2}}{2} f^{'} (a) + \frac{3 a}{2} f (a)

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2.

lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 5}{x^{3} \sin \frac{1}{x^{2}}} =

A.

0

B.

3

C.

- \frac{3}{8}

.

D.

1

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3. 设函数

f (x) = | x |

, 则函数在点

x = 0

处

A.

连续且可导

B.

连续且可微

C.

连续不可导

D.

不连续不可微

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4. 已知当

x \to 0

时, 函数

f (x) = 3 \sin x - \sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小, 则

A.

k = 1, c = 4

.

B.

k = 1, c = - 4

.

C.

k = 3, c = 4

.

D.

k = 3, c = - 4

.

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5. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

.

B.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

.

C.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

.

D.

1 - \cos \sqrt{x}

.

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 设方程:

{\begin{cases} x = 3 t^{2} + 2 t \\ y = e^{y} \sin t + 1 \end{cases}

, 求

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0}

。

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7. 设函数

y = y (x)

由方程

x^{3} + y^{3} - 3 x + 3 y - 2 = 0

确定, 求函数

y = y (x)

在

x = 1, y = 1

处的一阶导数值、二阶导数值。

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8. 设

{\begin{cases} x = 1 + t^{2} \\ y = 1 + t^{3} \end{cases}

, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

.

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9. 求

y = x^{\sin x} (x > 0)

的导数

y^{'} (x)

.

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10. 求函数极限:

lim_{x \to 0^{+}} (\frac{1}{x \cdot (1 + x)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{e x})

.

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