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数学试卷5

数学

一、单选题（共 29 题），每题只有一个选项正确

1. 设有函数序列

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n}, 0 < x < 1, n = 1, 2, \dots

, 下列四个结论:
(1)

lim_{n \to} f_{n} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (2) 若数列

x_{n} \in (0, 1), lim_{n \to} x_{n}

存在, 则

lim_{n \to} f_{n} (x_{n}) = 0

;
(3)

lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = 0 \cdot x \in (0.1)

; (4)

lim_{n \to} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = 0

中, 正确的是

A.

(1) 和 (2)

B.

(3) 和 (4)

C.

(1) 和 (3)

D.

(2) 和 (4)

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2. 下列级数中, 绝对收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n^{2}}{n^{2}}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \frac{n}{n + 1}

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3. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

A.

(1, \frac{π}{2}]

B.

k ⩾ \frac{π}{2}

或者

k < 1

C.

k > \frac{π}{2}

或者

k ⩽ 1

D.

k = 1

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4. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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5. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续, 下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

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6. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

, 则

F (x)

A.

为正常数

B.

为负常数

C.

恒为零.

D.

不为常数

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7. 设

f (x)

在点

x = a

的某个邻域内有定义, 则

f (x)

在

x = a

处可导的一个充分条件是

A.

lim_{h \to + \infty} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)]

存在.

B.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h}

存在.

C.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h}

存在.

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h}

存在.

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8. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

, 则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导.

B.

恰有一个不可导点.

C.

恰有两个不可导点.

D.

至少有三个不可导点.

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9. 设函数

f (x)

连续, 且

f^{'} (0) > 0

, 则存在

δ > 0

, 使得

A.

f (x)

在

(0, δ)

内单调增加.

B.

f (x)

在

(- δ, 0)

内单调减少.

C.

对任意的

x \in (0, δ)

, 有

f (x) > f (0)

.

D.

对任意的

x \in (- δ, 0)

, 有

f (x) > f (0)

.

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10. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某邻域内连续, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x \sin x} = - 2

, 则在

x = 0

处

f (x)

A.

不可导.

B.

可导, 且

f^{'} (0) \neq 0

.

C.

取极大值.

D.

取极小值.

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11. 设函数

f (x)

具有 2 阶导数,

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

则在区间

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

.

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

.

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

.

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

.

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12. 设函数

f_{i} (x) (i = 1, 2)

具有二阶连续导数, 且

f_{i}^{''} (x_{0}) < 0 (i = 1, 2)

. 若两条曲线

y = f_{i} (x) (i = 1, 2)

在点

(x_{0}, y_{0})

处具有公切线

y = g (x)

, 且该点处曲线

y = f_{1} (x)

的曲率大于曲线

y = f_{2} (x)

的曲率, 则在

x_{0}

的某个邻域内 , 有

A.

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)

.

B.

f_{2} (x) \leq f_{1} (x) \leq g (x)

.

C.

f_{1} (x) \leq g (x) \leq f_{2} (x)

.

D.

f_{2} (x) \leq g (x) \leq f_{1} (x)

.

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13. 设函数

f (x)

是连续函数, 则下列结论中正确的个数是
(1)若

f (x)

在任意区间

[a, b]

上满足

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

, 则

f (x) \equiv 0

.
(2)若

f (x) \geq 0

, 并且存在区间

[a, b]

使得

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

, 则

f (x) = 0 (x \in [a, b])

.
(3) 若

[a_{1}, b_{1}] \subset [a, b]

, 则

\int_{a_{1}}^{b_{1}} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x

.
(4) 设

g (x)

连续. 若

f (x) > g (x), a, b

为不相等的常数, 则

\int_{a}^{b} f (x) d x > \int_{a}^{b} g (x) d x

.

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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14.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(n + i) (n^{2} + j^{2})} =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

.

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

.

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

.

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

.

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15. 下列计算极限的过程正确的是

A.

lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to + \infty} x = \infty - \infty = 0

.

B.

lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} = 0

.

C.

lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{lim_{x \to + \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to + \infty} x} = \frac{\infty}{\infty} = 1

.

D.

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{x (x - 1)}{x (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{lim_{x \to 0} (x - 1)}{lim_{x \to 0} (x + 1)} = \frac{- 1}{1} = - 1

.

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16. 设当

x \to 0

时,

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1)

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{1}{2}, b = 1

.

B.

a = 1, b = 1

.

C.

a = - \frac{1}{2}, b = - 1

.

D.

a = - 1, b = 1

.

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17.

lim_{x \to 0} \frac{a \tan x + b (1 - \cos x)}{c \ln (1 - 2 x) + d (1 - e^{- x^{2}})} = 2

, 其中

a^{2} + c^{2} \neq 0

, 则必有

A.

b = 4 d

.

B.

b = - 4 d

.

C.

a = 4 c

.

D.

a = - 4 c

.

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18. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1} = 5

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

等于

A.

3

B.

7

C.

8

D.

9

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19. 设

u_{n} \neq 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

, 且

lim_{n \to \infty} \frac{n}{u_{n}} = 1

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} (\frac{1}{u_{n}} + \frac{1}{u_{n + 1}})

A.

发散.

B.

绝对收敛.

C.

条件收敛.

D.

收敛性根据所给条件不能判定.

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20. 直线

L : \frac{x}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z}{7}

和平面

π : 3 x - 2 y + 7 z - 8 = 0

的位置关系是

A.

直线

L

平行于平面

π

B.

直线

L

在平面

π

上

C.

直线

L

垂直于平面

π

D.

直线

L

与平面

π

斜交

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21. 下列级数收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1) (n + 4)}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + n}{n^{2} + 1}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n - 1}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n (n + 1)}}

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22. 设

I = \int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x}}

, 则

I =

.

A.

e^{x} - e^{- x} + C

.

B.

\arctan e^{x} + C

.

C.

\arctan e^{- x} + C

.

D.

e^{x} + e^{- x} + C

.

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23. 设

I = \int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}}

, 则

I =

.

A.

- 2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

B.

2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

C.

2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

D.

- 2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

.

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24. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

,
令

S_{1} = \int_{a}^{b} - f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a), S_{3} = \frac{1}{2} [f (b) + f (a)] (b - a)

, 则有

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

.

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

.

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

.

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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25.

\int_{- 1}^{0} | 3 x + 1 | d x =

.

A.

\frac{5}{6}

B.

- \frac{5}{6}

.

C.

- \frac{3}{2}

.

D.

\frac{3}{2}

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26. 估计积分值

A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} e^{- x^{2}} d x

为

A.

\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

.

B.

e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

.

C.

\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ 1

D.

- \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

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27. 函数

f (x) = | x \sin x | e^{\cos x}, x \in (- \infty, + \infty)

, 是

A.

单调函数

B.

周期函数

C.

偶函数

D.

有界函数

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28. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{(x^{3} - 1) \sin x}{| x | (1 + x^{2})}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases} x \in (- \infty, + \infty)

, 则

A.

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有界

B.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

有界, 当

| x | > X

时,

f (x)

无界

C.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

无界, 当

| x | > X

时,

f (x)

有界

D.

对任意

X > 0

, 当

| x | ⩽ X

时,

f (x)

有界, 但在

(- \infty, + \infty)

内无界

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29. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内为连续的奇函数,

a

为常数, 则必为偶函数的是

A.

\int_{0}^{x} d u \int_{a}^{u} t f (t) d t

B.

\int_{a}^{x} d u \int_{0}^{u} f (t) d t

C.

\int_{0}^{x} d u \int_{a}^{u} f (t) d t

D.

\int_{a}^{x} d u \int_{0}^{u} t f (t) d t

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