一、单选题 （共 29 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设三个积分分别为
$$
\begin{gathered}
\mathrm{M}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, \\
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x,
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ ${N} < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < 1$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
设 $$
\begin{aligned}
M & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, \\
N & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x \\
K &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
\end{aligned}
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
设对于任意 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 方程 $x^{\cos ^2 \alpha}=k+x \cos ^2 \alpha(x>0)$ 有两个不同的实根, 则 $k$ 的取值范围 是
$\text{A.}$ $\left[0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{C.}$ $\left[0, \cos ^2 \alpha\right)$.
$\text{D.}$ $\left(0, \cos ^2 \alpha\right)$.
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
设 $a \neq b$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 < x < \pi, \\ b, & -\pi < x < 0,\end{array}\right.$ 且其傅里叶级数展开式为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+\right.$ $\left.b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 收敛.
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4 , 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$,则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是 ( )
(1). 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
(2). $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
(3). $\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
(4). $\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ (1)(4)(2)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)(1)(3)
$\text{C.}$ (1)(4)(3)(2)
$\text{D.}$ (4)(2)(1)(3)
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}g(x) \cos \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续但不可导.
$\text{B.}$ 可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 极限存在但不连续.
$\text{D.}$ 可微且 $\left.\mathrm{d} f(x)\right|_{x=0}=0$.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right) \ln \left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)$ 绝对收敛, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^{1-\sigma}}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $\alpha>\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $2 < \alpha < 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} < \alpha < 1$.
$\text{D.}$ $\alpha < 3$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, 无穷小 $\alpha=\sqrt{1+x \cos x}-\sqrt{1+\sin x}, \beta=\int_0^{\mathrm{e}^{2 x}-1} \frac{\sin ^2 t}{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\cos (\tan x)-\cos x$的阶数由低到高的次序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{C.}$ $\gamma, \alpha, \beta$
$\text{D.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内二阶连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+2 f^{\prime \prime}(x)}{x-x^2}=4$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
$\text{B.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 为 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 既不是 $f(x)$ 的极值点, 也不是 $f(x)$ 的拐点
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)$ 收敛
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 一定收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 一定收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(a_n \neq 0\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 收敛
$\text{D.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
已知函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x) < 0$, 则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^0|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_0^1|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 f[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 g[g(x)] \mathrm{d} x$.
下列直线中不是曲线 $y=\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2+1$.
$\text{C.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2$.
$\text{D.}$ $y=-2 x \ln 2-\frac{1}{4} \ln 2-1$.
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \dfrac{n t^{n-1}}{1+\mathrm{e}^{x t}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^2$.
$\text{B.}$ $1+e$
$\text{C.}$ $\ln (1+e)$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设连续函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 且 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=12$, 若
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^4} \int_{\sin x}^x g(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ g(0), & x=0,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不连续, $x=0$ 是其第二类间断点.
$\text{B.}$ 不连续, $x=0$ 是其可去间断点.
$\text{C.}$ 连续,但不可导.
$\text{D.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \leqslant 0, \\ 1, x>0,\end{array}\right.$ 则偶函数 $\varphi(x)=h(\cos \pi x-|x|)$ 有两个间断点 $x= \pm x_0\left(x_0>0\right)$, 且
$\text{A.}$ 在 $\pm x_0$ 点左连续.
$\text{B.}$ 在 $\pm x_0$ 点右连续.
$\text{C.}$ 在 $-x_0$ 点左连续, 在 $x_0$ 点右连续.
$\text{D.}$ 在 $-x_0$ 点右连续, 在 $x_0$ 点左连续.
设 $\int_0^{\tan x}\left(\mathrm{e}^{a t^2}-1\right) \mathrm{d} t \sim 2 x^3+b x(x \rightarrow 0)$, 则
$\text{A.}$ $a=6, b=0$
$\text{B.}$ $a=0, b=6$
$\text{C.}$ $a=-6, b=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=-6$
设曲线 $L: y=f(x)$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, $f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有一个拐点
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\left|x^2-x\right|}}$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \sqrt{x} \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1+x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{x^2 \mathrm{e}^{-x^2}}{1+x} \mathrm{~d} x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\tan ^2 x\right)-x^2}{x^4}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1/2
$\text{C.}$ 1/6
$\text{D.}$ 1/4
设函数 $f(x), g(x)$ 二阶可导且二阶导函数在 $x=a$ 处连续, 若 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}>0$, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在 $a$ 的某邻域内, $f(x) \geqslant g(x)$.
② 在点 $(a, f(a))$ 处, $y=f(x)$ 的曲率大于 $y=g(x)$ 的曲率.
③ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极大值点.
④ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极小值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极小值点.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $I_1=\int_0^\pi \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_3=\int_\pi^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.