单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}} & x>0 \\ x^2 g(x) & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设 $\alpha(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, \beta(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数 则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
" 对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leq 2 \varepsilon$ “是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \sin 2 t \\ y=e^t \cos t\end{array}\right.$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y\right)=x^3 y+\sin x$ 确定，
则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$
$\int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$
函数 $y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ 上的平均值为
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2}$.
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0(x>0) \\ \left.y\right|_{x=1}=0\end{array}\right.$ 的解.
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口 (见图)，已知井深 $30 \mathrm{~m}$ ，抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$ ，缆绳每米 $50 \mathrm{~N}$ ，抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$ ，提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?
明：(1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）.
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求:
（1）函数的增减区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点;
（3） 函数图形的渐进线.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上具有三阶连续导数， $f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$. 证明: 在开区间 $(-1,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$.过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1)$ 上单调减少且非负的连续函数，
$$
a_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x) \mathrm{d} x(n=1,2, \cdots) .
$$
证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 矩阵 $X$ 满足
$$
A^* X=A^{-1}+2 X,
$$
其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$.
设向量组 $\alpha_1=(1,1,1,3)^T, \alpha_2=(-1,-3,5,1)^T, \alpha_3=$ $(3,2,-1, p+2)^T, \alpha_4=(-2,-6,10, p)^T$.
（1） $p$ 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量 $\alpha=(4,1,6,10)^T$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出；
（2） $p$ 为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.