2024年四川省自贡市初中毕业生学业考试数学真题试卷

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2024年四川省自贡市初中毕业生学业考试数学真题试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 在

0, - 2 、 - \sqrt{3}, π

四个数中, 最大的数是

A.

-2

B.

C.

π

D.

- \sqrt{3}

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2. 据统计, 今年“五一"小长假期间, 近 70000 人次游览了自贡中华彩灯大世界. 70000 用科学记数法表示为

A.

0.7 \times 10^{5}

B.

7 \times 10^{4}

C.

7 \times 10^{5}

D.

0.7 \times 10^{4}

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3. 如图, 以点

A

为圆心, 适当的长为半径画弧, 交

∠ A

两边于点

M, N

, 再分别以

M 、 N

为圆心,

A M

的长为半径画弧, 两弧交于点

B

, 连接

M B, N B

. 若

∠ A = 40^{\circ}

, 则

∠ M B N =

A.

40^{\circ}

B.

50^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

140^{\circ}

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4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是

A.

B.

C.

D.

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5. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为

3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 5

. 这组数据的中位数和众数分别是

A.

3,4

B.

4,4

C.

4,5

D.

5,5

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6. 如图，在平面直角坐标系中，

D (4, - 2)

，将Rt

△ O C D

绕点

O

逆时针旋转

90^{\circ}

到

△ O A B

位置，则点

B

坐标为

A.

(2, 4)

B.

(4, 2)

C.

(- 4, - 2)

D.

(- 2, 4)

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7. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图 (如图所示) 巧妙地证明了勾股定理. “赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案. 下列关于“赵爽弦图”说法正确的是

A.

是轴对称图形

B.

是中心对称图形

C.

既是轴对称图形又是中心对称图形

D.

既不是轴对称图形也不是中心对称图形

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8. 关于

x

的一元二次方程

x^{2} + k x - 2 = 0

的根的情况是

A.

有两个不相等的实数根

B.

有两个相等的实数根

C.

只有一个实数根

D.

没有实数根

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9. 一次函数

y = x - 2 n + 4

，二次函数

y = x^{2} + (n - 1) x - 3

，反比例函数

y = \frac{n + 1}{x}

在同一直角坐标系中图象如图所示，则

n

的取值范围是

A.

n > - 1

B.

n > 2

C.

- 1 < n < 1

D.

1 < n < 2

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10. 如图，在

◻ A B C D

中，

∠ B = 60^{\circ} ， A B = 6 cm ， B C = 12 cm

. A点

P

从点A出发、以

1 cm / s

的速度沿

A \to D

运动，同时点

Q

从点C出发，以以

cm / s

的速度沿

C \to B \to C \to \dots

往复运动，当点

P

到达端点

D

时，点

Q

随之停止运动. 在此运动过程中，线段

P Q = C D

出现的次数是

A.

B.

C.

D.

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11. 如图，等边

△ A B C

钢架的立柱

C D ⊥ A B

于点

D ， A B

长

12 m

. 现将钢架立柱缩短成

D E ， ∠ B E D = 60^{\circ}

. 则新钢架减少用钢

A.

(24 - 12 \sqrt{3}) m

B.

(24 - 8 \sqrt{3}) m

C.

(24 - 6 \sqrt{3}) m

D.

(24 - 4 \sqrt{3}) m

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12. 如图，在矩形

A B C D

中，

A F

平分

∠ B A C

，将矩形沿直线

E F

折叠，使点

A ， B

分别落在边

A D 、 B C

上的点

A^{'} ， B^{'}

处，

E F

，

A^{'} F

分别交

A C

于点

G ， H

.若

G H = 2, H C = 8

，则

B F

的长为

A.

\frac{20 \sqrt{2}}{9}

B.

\frac{20 \sqrt{3}}{9}

C.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 分解因式:

x^{2} - 3 x =

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14. 计算:

\frac{3 a + 1}{a + 1} - \frac{2 a}{a + 1} =

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15. 凸七边形的内角和是

度.

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16. 一次函数

y = (3 m + 1) x - 2

的值随

x

的增大而增大，请写出一个满足条件的

m

的值

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17. 龚扇是自贡“小三绝”之一. 为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）. 扇形外侧两竹条

A B, A C

夹角为

120^{\circ} . A B

长

30 cm

，扇面的

B D

边长为

18 cm

，则扇面面积为

{cm}^{2}

(结果保留

π

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18. 九 (1) 班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地. 地上两段围墙

A B ⊥ C D

于点O（如图），其中

A B

上的

E O

段围墙空缺. 同学们测得

A E = 6.6

m ， O E = 1.4 m ， O B = 6 m ， O C = 5 m ， O D = 3 m

. 班长买来可切断的围栏

16 m

，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是

{cm}^{2}

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 计算:

{(\tan 45^{\circ} - 2)}^{0} + | 2 - 3 | - \sqrt{9}

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20. 如图，在

△ A B C

中，

D E ∥ B C ， ∠ E D F = ∠ C

.
(1)求证:

∠ B D F = ∠ A

；
(2)若

∠ A = 45^{\circ} ， D F

平分

∠ B D E

，请直接写出

△ A B C

的形状.

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21. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动. 已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包 20 个粽子，甲组包,150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同. 求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.

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22. 在

Rt △ A B C

中，

∠ C = 90^{\circ} ， ⊙ O

是

△ A B C

的内切圆，切点分别为

D ， E ， F

.
(1)图1中三组相等的线段分别是

C E = C F ， A F =

B D =

；若

A C = 3 ， B C = 4

，则

⊙ O

半径长为

;
(2)如图2，延长

A C

到点

M

，使

A M = A B

，过点

M

作

M N ⊥ A B

于点

N

.
求证:

M N

是

⊙ O

的切线.

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23. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理 (如图1). 并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.

图1 学生体质健康统计表

(1)图1中

a =

b =

c =

;

(2)请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会. 请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数

y = k x + b

的图象与反比例函数

y = \frac{m}{x}

的图象交于

A (- 6, 1) ， B (1, n)

两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)

P

是直线

x = - 2

上的一个动点，

△ P A B

的面积为 21 ，求点

P

坐标;
(3)点

Q

在反比例函数

y = \frac{m}{x}

位于第四象限的图象上，

△ Q A B

的面积为 21 ，请直接写出

Q

点坐标.

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25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长

E F

恰好等于自己的身高

D E

. 此时，小组同学测得旗杆

A B

的影长

B C

为

11.3 m

，据此可得旗杆高度为

m;
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A. 小组同学测得小李的眼睛距地面高度

D E = 1.5 m

，小李到镜面距离

E C = 2 m

，镜面到旗杆的距离

C B = 16 m

. 求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大. 在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度. 方法如下:

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上.
如图5，在支架上端

P

处，用细线系小重物

Q

，标高线

P Q

始终垂直于水平地面.
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线

D A

与标高线交点C，测得标高

C G = 1.8 m ， D G = 1.5 m

. 将观测点

D

后移

24 m

到

D^{'}

处，采用同样方法，测得

C^{'} G^{'} = 1.2 m ， D^{'} G^{'} = 2 m

. 求雕塑高度 (结果精确到

1 m

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26. 如图，抛物线

y = a x^{2} - \frac{3}{2} x + c

与

x

轴交于

A (- 1, 0) ， B (4, 0)

两点，顶点为

P

.
(1)求抛物线的解析式及

P

点坐标；
(2)抛物线交

y

轴于点

C

，经过点

A, B, C

的圆与

y

轴的另一个交点为

D

，求线段

C D

的长;
(3)过点

P

的直线

y = k x + n

分别与抛物线、直线

x = - 1

交于

x

轴下方的点

M ， N

，直线

N B

交抛物线对称轴于点

E

，点

P

关于

E

的对称点为

Q ， M H ⊥ x

轴于点

H

. 请判断点

H

与直线

N Q

的位置关系，并证明你的结论.

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