如图，抛物线 $y=a x^2-\frac{3}{2} x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0) ， B(4,0)$ 两点，顶点为 $\mathrm{P}$.
(1)求抛物线的解析式及 $P$ 点坐标；
(2)抛物线交 $\mathrm{y}$ 轴于点 $\mathrm{C}$ ，经过点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的圆与 $\mathrm{y}$ 轴的另一个交点为 $\mathrm{D}$ ，求线段 $C D$ 的长;
(3)过点 $\mathrm{P}$ 的直线 $y=k x+n$ 分别与抛物线、直线 $x=-1$ 交于 $\mathrm{x}$ 轴下方的点 $\mathrm{M} ， \mathrm{~N}$ ，直线 $N B$ 交抛物线对称轴于点 $\mathrm{E}$ ，点 $\mathrm{P}$ 关于 $\mathrm{E}$ 的对称点为 $\mathrm{Q} ， M H \perp x$ 轴于点 $\mathrm{H}$. 请判断点 $\mathrm{H}$ 与直线 $N Q$ 的位置关系，并证明你的结论.