单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $M=\{-2,-1,0,1,2\}, N=\left\{x \mid x^2-x-6 \geq 0\right\}$, 则 $M \cap N=$
$\text{A.}$ $\{-2,-1,0,1\}$
$\text{B.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{C.}$ $\{-2\}$
$\text{D.}$ $2$
已知 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{2+2 \mathrm{i}}$, 则 $z-\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $0$
$\text{D.}$ $1$
已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$, 若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$, 则
$\text{A.}$ $\lambda+\mu=1$
$\text{B.}$ $\lambda+\mu=-1$
$\text{C.}$ $\lambda \mu=1$
$\text{D.}$ $\lambda \mu=-1$
设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-2]$
$\text{B.}$ $[-2,0)$
$\text{C.}$ $(0,2]$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
设椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1), C_2: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$. 若 $e_2=\sqrt{3} e_1$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 设甲: $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列; 乙: $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列, 则
$\text{A.}$ 甲是乙的充分条件但不是必要条件
$\text{B.}$ 甲是乙的必要条件但不是充分条件
$\text{C.}$ 甲是乙的充要条件
$\text{D.}$ 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{6}$, 则 $\cos (2 \alpha+2 \beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{9}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
有一组样本数据 $x_1, x_2, \cdots, x_6$, 其中 $x_1$ 是最小值, $x_6$ 是最大值, 则
$\text{A.}$ $x_2, x_3, x_4, x_5$ 的平均数等于 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的平均数
$\text{B.}$ $x_2, x_3, x_4, x_5$ 的中位数等于 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的中位数
$\text{C.}$ $x_2, x_3, x_4, x_5$ 的标准差不小于 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的标准差
$\text{D.}$ $x_2, x_3, x_4, x_5$ 的极差不大于 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的极差
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 $L_p=20 \times \lg \frac{p}{p_0}$, 其中常数 $p_0\left(p_0>0\right)$ 是听觉下限阈值, $p$ 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 \mathrm{~m}$ 处测得实际声压分别为 $p_1, p_2, p_3$,则
$\text{A.}$ $p_1 \geq p_2$
$\text{B.}$ $p_2>10 p_3$
$\text{C.}$ $p_3=100 p_0$
$\text{D.}$ $p_1 \leq 100 p_2$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x y)=y^2 f(x)+x^2 f(y)$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0$
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位: $\mathrm{m}$ ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内的有
$\text{A.}$ 直径为 $0.99 \mathrm{~m}$ 的球体
$\text{B.}$ 所有棱长均为 $1.4 \mathrm{~m}$ 的四面体
$\text{C.}$ 底面直径为 $0.01 \mathrm{~m}$, 高为 $1.8 \mathrm{~m}$ 的圆柱体
$\text{D.}$ 底面直径为 $1.2 \mathrm{~m}$, 高为 $0.01 \mathrm{~m}$ 的圆柱体
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种 (用数字作答).
在正四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=2, A_1 B_1=1, A A_1=\sqrt{2}$, 则该棱台的体积为
已知函数 $f(x)=\cos \omega x-1(\omega>0)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 3 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$. 点 $\mathrm{A}$ 在 $C$ 上, 点 $B$ 在 $y$ 轴上, $\overrightarrow{F_1 A} \perp \overrightarrow{F_1 B}, \overrightarrow{F_2 A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_2 B}$, 则 $C$ 的离心率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知在 $\triangle A B C$ 中, $A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$.
(1)求 $\sin A$;
(2)设 $A B=5$, 求 $A B$ 边上的高.
如图, 在正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=2, A A_1=4$. 点 $A_2, B_2, C_2, D_2$ 分别在棱 $A A_1, B B_1, C C_1, D D_1$ 上, $A A_2=1, B B_2=D D_2=2, C C_2=3$.
(1)证明: $B_2 C_2 / / A_2 D_2$;
(2) 点 $P$ 在棱 $B B_1$ 上, 当二面角 $P-A_2 C_2-D_2$ 为 $150^{\circ}$ 时, 求 $B_2 P$.
已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^x+a\right)-x$.
(1)讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2)证明: 当 $a>0$ 时, $f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$.
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$, 且 $d>1$. 令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$, 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的前 $n$ 项和.
(1) 若 $3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 且 $S_{99}-T_{99}=99$, 求 $d$.
甲、乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投籃, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的命中率均为 0.8 . 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 .
(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率;
(2)求第 $\mathrm{i}$ 次投篮的人是甲的概率;
(3) 已知: 若随机变量 $X_i$ 服从两点分布, 且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i=1,2, \cdots, n$, 则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i$. 记前 $n$ 次 (即从第 1 次到第 $n$ 次投篮) 中甲投篮的次数为 $Y$, 求 $E(Y)$.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离, 记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.
(1)求 $W$ 的方程;
(2)已知矩形$ABCD$有三个顶点在$W$上，证明：矩形$ABCD$的周长大于$3\sqrt{2}$