解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\sqrt{\frac{2 n-1}{4 n^2+1}}$, 前 $n$ 项和为 $S_n$, 求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数.
若 $x, y$ 为两个不同的质数, 是否存在正偶数 $n$, 使 $(x+y) \mid x^n+y^n$.
已知函数 $f(x)=\frac{\frac{1}{x}+x}{[x]+\left[\frac{1}{x}\right]+2}$ ( $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数), 问是否存在 $x$, 使得 $f(x)=\frac{4}{3}$ (或 $\left.\frac{8}{5}\right)$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1} a_n-2 n^2\left(a_{n+1}-a_n\right)+1=0$, 且 $a_1=1$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 求 $S_{15}$.
已知在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $B C$ 的中点, 且 $\angle D A C=15^{\circ}$, 求 $\angle A B C$ 的最大值.
从集合 $\{1,2,3, \cdots, 12\}$ 中任取 3 个数, 其和能被 3 整除的概率为
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 求 $\left|z^3-z+2\right|$ 的最值.
在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点, $A D=1, B E=2$, 则 $S_{\triangle A B C}$ 的最大值为