2021年清华大学自强计划数学竞赛部分试题与解析

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2021年清华大学自强计划数学竞赛部分试题与解析

一、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = \sqrt{\frac{2 n - 1}{4 n^{2} + 1}}

, 前

n

项和为

S_{n}

, 求与

S_{128} - S_{32}

最接近的整数.

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2. 若

x, y

为两个不同的质数, 是否存在正偶数

n

, 使

(x + y) ∣ x^{n} + y^{n}

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3. 已知函数

f (x) = \frac{\frac{1}{x} + x}{[x] + [\frac{1}{x}] + 2}

(

[x]

表示不超过

x

的最大整数), 问是否存在

x

, 使得

f (x) = \frac{4}{3}

(或

\frac{8}{5})

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4. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} a_{n} - 2 n^{2} (a_{n + 1} - a_{n}) + 1 = 0

, 且

a_{1} = 1

, 其前

n

项和为

S_{n}

, 求

S_{15}

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5. 已知在

△ A B C

中,

D

是边

B C

的中点, 且

∠ D A C = 15^{\circ}

, 求

∠ A B C

的最大值.

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6. 从集合

{1, 2, 3, \dots, 12}

中任取 3 个数, 其和能被 3 整除的概率为

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7. 已知复数

z

满足

| z | = 1

, 求

| z^{3} - z + 2 |

的最值.

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8. 在

△ A B C

中,

D, E

分别为

B C, A C

的中点,

A D = 1, B E = 2

, 则

S_{△ A B C}

的最大值为

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