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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1} a_n-2 n^2\left(a_{n+1}-a_n\right)+1=0$, 且 $a_1=1$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 求 $S_{15}$.
                        
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