2023年初二年级二次根式专项练习

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2023年初二年级二次根式专项练习

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 3}

的自变量

x

的取值范围是

A.

x \neq 3

B.

x > 0

且

x \neq 3

C.

x \geq 0

且

x \neq 3

。

D.

x > 2

且

x \neq 3

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2. 已知实数

a

满足

| 2022 - a | + \sqrt{a - 2023} = a

, 那么

a - 2022^{2}

的值是

A.

2023

B.

2022

C.

2021

D.

2020

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3. 实数

a

在数轴上的对应位置如图所示, 则

\sqrt{a^{2}} + 1 + | a - 1 |

的化简结果是

A.

1

B.

2

C.

2 a

D.

1 - 2 a

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4. 实数

a, b

在数轴上的位置如图所示, 化简

(\sqrt{a})^{2} + \sqrt{b^{2}}

的结果是

A.

- a + b

B.

- a - b

C.

a + b

D.

a - b

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5. 下列各式中是二次根式的为

A.

a + b

B.

\frac{s}{t}

C.

- x^{3}

D.

\sqrt{a} (a \geq 0)

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6. 代数式

\frac{\sqrt{x}}{x - 1}

有意义的条件是

A.

x \neq 1

B.

x \geq 0

C.

x \geq 0

且

x \neq 1

D.

0 \leq x \leq 1

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7. 若

\sqrt{x} + \sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{6}, 0 < x < 1

, 则

\sqrt{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}

的值是

A.

- \sqrt{2}

B.

- 2

C.

\pm 2

D.

\pm \sqrt{2}

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8. 在下列代数式中, 不是二次根式的是

A.

\sqrt{5}

B.

\sqrt{\frac{1}{3}}

C.

\sqrt{x^{2} + 1}

D.

\frac{2}{x}

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9. 已知

y = 2 \sqrt{4 x - 2} - 3 \sqrt{4 - 8 x} + 32

, 则

\sqrt{x y}

的值为

A.

\pm 4

B.

\pm 2

C.

4

D.

2

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10. 已知

x 、 y

为实数, 且

y = \sqrt{x - 2022} + \sqrt{2022 - x} + 3

, 则

x + y

的值是

A.

2022

B.

2025

C.

2027

D.

2030

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知整数

x, y

满足

x \sqrt{y} + y \sqrt{x} - \sqrt{2022 x} - \sqrt{2022 y} + \sqrt{2022 x y} = 2022

, 则

\sqrt{x - y - 7}

的最小值为

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12. 将

x \sqrt{- \frac{6}{x^{3}}}

根号外的因式移到根号内:

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13. 设实数

a 、 b

在数轴上对应的位置如图所示, 化简

\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}} + | a + b |

的结果是

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14. 已知

a, b

都是实数,

b = \sqrt{1 - 2 a} + \sqrt{4 a - 2} - 2

, 则

a^{b}

的值为

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15. 若

x 、 y

都为实数, 且

y = 2022 \sqrt{x - 4} + 2022 \sqrt{4 - x} + 9

, 则

x y

的值

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 阅读材料并解决下列问题:
已知

a 、 b

是有理数, 并且满足等式

5 - \sqrt{3} a = 2 b + \frac{2}{3} \sqrt{3} - a

, 求

a 、 b

的值.
解:

∵ 5 - \sqrt{3} a = 2 b + \frac{2}{3} \sqrt{3} - a

即

5 - \sqrt{3} a = (2 b - a) + \frac{2}{3} \sqrt{3}

∴ 2 b - a = 5, - a = \frac{2}{3}

解得:

a = - \frac{2}{3}, b = \frac{13}{6}

(1) 已知

a 、 b

是有理数, 并且满足等式

\sqrt{2} a - (1 + \sqrt{2}) b = 3 \sqrt{2} - 1

, 则

a =, b =

(2) 已知

x 、 y

是有理数, 并且满足等式

x + \sqrt{5} y + 2 y - 2 \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} x + 18

, 求

x y

的平方根.

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17. 已知

a

满足

| 2021 - a | + \sqrt{a - 2022} = a

.
(1)

\sqrt{a - 2022}

有意义,

a

的取值范围是 ; 则在这个条件下将

2021 - a ∣

去掉绝对值符号可得

| 2021 - a | =

(2)根据 (1) 的分析, 求

a - 2021^{2}

的值.

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18. 小颖利用平方差公式, 自己探究出一种解某一类根式方程的方法. 下面是她解方程

\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 7} = 5

的过程.
解: 设

\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7} = m

, 与原方程相乘得:

\begin{aligned} (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 7}) \times (\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}) = 5 m, \\ x - 2 - (x - 7) = 5 m, 解之得 m = 1, \\ ∴ \sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7} = 1, 与原方程相加得: \\ (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 7}) + (\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}) = 5 + 1, \end{aligned}

2 \sqrt{x - 2} = 6

, 解之得,

x = 11

, 经检验,

x = 11

是原方程的根.
学习借鉴解法, 解方程

\sqrt{x - 3} - \sqrt{x - 6} = 1

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19. 当

a = 2022

时, 求

a + \sqrt{a^{2} - 2 a + 1}

的值. 如图是小亮和小芳的解答过程:

(1) （　　）的解法是错误的;
(2)错误的原因在于末能正确地运用二次根式的性质（　　）
(3)当

a > 3

时, 求

\sqrt{a^{2} - 6 a + 9} - | 1 - a |

的值.

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