一元二次方程专项训练

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一元二次方程专项训练

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 下列方程中, 一定是一元二次方程的是

A.

2 x^{2} - \frac{3}{x} + 1 = 0

B.

(x + 2) (2 x - 1) = 2 x^{2}

C.

5 x^{2} - 1 = 0

D.

a x^{2} + b x + c = 0

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2. 用配方法解方程

x^{2} - 6 x - 7 = 0

, 下列配方正确的是

A.

(x - 3)^{2} = 16

B.

(x + 3)^{2} = 16

C.

(x - 3)^{2} = 7

D.

(x - 3)^{2} = 2

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3. 利用求根公式求

5 x^{2} + \frac{1}{2} = 6 x

的根时,

a, b, c

的值分别是

A.

5, \frac{1}{2}, 6

B.

5, 6, \frac{1}{2}

C.

5, - 6, \frac{1}{2}

D.

5, - 6, - \frac{1}{2}

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4. 已知关于

x

的一元二次方程

(k + 1) x^{2} + 2 x - 1 = 0

有实数根, 则

k

的取值范围是

A.

k ⩾ - 2

B.

k ⩾ - 2

且

k \neq - 1

C.

k ⩾ 2

D.

k ⩽ - 2

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a

是方程

x^{2} + x - 1 = 0

的一个根, 则代数式

a^{3} + 2 a^{2} + 2018

的值是

A.

2018

B.

2019

C.

2020

D.

2021

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6. 若

{(a^{2} + b^{2} - 3)}^{2} = 25

, 则

a^{2} + b^{2} =

A.

8 或 -2

B.

-2

C.

D.

2 或 -8

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7. 已知一元二次方程

a (x + m)^{2} + n = 0 (a \neq 0)

的两根分别为

- 3, 1

, 则方程

a

(x + m - 2)^{2} + n = 0 (a \neq 0)

的两根分别为

A.

1, 5

B.

- 1, 3

C.

- 3, 1

D.

- 1, 5

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8. 《代数学》中记载, 形如

x^{2} + 10 x = 39

的方程, 求正数解的几何方法是: “如图 1 , 先构造一个面积为

x^{2}

的正方形, 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为

\frac{5}{2} x

的矩形, 得到大正方形的面积为

39 + 25 = 64

, 则该方程的正数解为 8

- 5 = 3

. ” 小聪按此方法解关于

x

的方程

x^{2} + 6 x + m = 0

时, 构造出如图 2 所示的图形, 已知阴影部分的面积为 36 , 则该方程的正数解为

A.

6

B.

3 \sqrt{5} - 3

C.

3 \sqrt{5} - 2

D.

3 \sqrt{5} - \frac{3}{2}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 用公式法解方程

2 x^{2} - 7 x + 1 = 0

, 其中

b^{2} - 4 a c =

x_{1}

= ________ ,

x_{2}

= ________

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10. 关于

x

的方程

(m^{2} - 1) x^{3} + (m - 1) x^{2} + 2 x + 6 = 0

, 当

m =

时为一元二次方程.

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11. 若

m

为实数, 方程

x^{2} - 3 x + m = 0

的一个根的相反数是方程

x^{2} + 3 x - 3 = 0

的一个根, 则

x^{2} - 3 x + m = 0

的根是

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12. 对于实数

p 、 q

, 我们用符号

min {p, q}

表示

p 、 q

两数中较小的数, 如

min {1

2} = 1

, 若

min {(x - 1)^{2}, x^{2}} = 1

, 则

x =

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. (1) 用配方法解方程:

2 x^{2} - 3 x - 3 = 0

;
（2）用公式法解方程:

(x + 1) (x - 3) = 2 x - 5

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14. 当

m

是何值时, 关于

x

的方程

(m^{2} + 2) x^{2} + (m - 1) x - 4 = 3 x^{2}

(1) 是一元二次方程;
(2) 是一元一次方程;
(3) 若

x = - 2

足它的一个根, 求

m

的值.

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15. 阅读下列材料:
①关于

x

的方程

x^{2} - 3 x + 1 = 0 (x \neq 0)

方程两边同时乘以

\frac{1}{x}

得:

x - 3 + \frac{1}{x} = 0

即

x + \frac{1}{x} = 3, {(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2, x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7

②

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}); a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

.

根据以上材料, 解答下列问题:

(1)

x^{2} - 4 x + 1 = 0 (x \neq 0)

, 则

x + \frac{1}{x} =

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =

(2)

2 x^{2} - 7 x + 2 = 0 (x \neq 0)

, 求

x^{3} + \frac{1}{x^{3}}

的值.

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16. 阅读下列两则材料, 回答问题
材料一: 我们将

(\sqrt{a} + \sqrt{b})

与

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

称为一对 “对偶式”
因为

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2} = a - b

, 所以构造 “对偶式”
相乘可以有效地将

(\sqrt{a} + \sqrt{b})

和

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

中的根号去掉
例如: 已知

\sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x} = 2

, 求

\sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x}

的值.

\begin{aligned} 解: (\sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x}) \times (\sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x}) = (25 - x) - (15 - x) = 10 \\ ∵ \sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x} = 2, \\ ∴ \sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x} = 5 \end{aligned}

材料二: 如图, 点

A (x_{1}, y_{1})

, 点

B (x_{2}, y_{2})

, 以

A B

为斜边作 Rt

△ A B C

,
则

C (x_{2}, y_{1})

, 于是

A C = | x_{1} - x_{2} |, B C = | y_{1} - y_{2} |

, 所以

AB = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

反之, 可将代数式

\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

的值看作点

(x_{1}, y_{1})

到点

(x_{2}, y_{2})

的距离. 例如

\begin{aligned} \sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + 2} = \sqrt{(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 2 y + 1)} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2}} = \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + [y - (- 1)]^{2}} . \end{aligned}

所以可将代数式

\sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + 2}

的值看作点

(x, y)

到点

(1, - 1)

的距离.
(1) 利用材料一, 解关于

x

的方程:

\sqrt{20 - x} - \sqrt{4 - x} = 2

, 其中

x ⩽ 4

;
(2) ①利用材料二, 求代数式

\sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} - 16 y + 65} + \sqrt{x^{2} + 4 x + y^{2} - 4 y + 8}

的最小值, 并求出此时

y

与

x

的函数关系式, 写出

x

的取值范图;
②将①所得的

y

与

x

的函数关系式和

x

的取值范围代入

y =

\sqrt{2 x^{2} + 5 x + 12} + \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 6}

中解出

x

, 直接写出

x

的值.

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