【13726】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 解答题 已知点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 为双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 上的动点. (1) 判断直线 $\frac{x_0 x}{2}-y_0 y=1$ 与双曲线的公共点个数, 并说明理由; (2) （i）如果把 (1) 的结论推广到一般双曲线, 你能得到什么相应的结论? 请写出你的结论, 不必证明; (ii) 将双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线称为“退化的双曲线”, 其方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$, 请利用该方程证明如下命题: 若 $T(m, n)$ 为双曲线 $C$ 上一点, 直线 $l: \frac{m x}{a^2}-\frac{n y}{b^2}=1$ 与 $C$ 的两条浙近线分别交于点 $P 、 Q$, 则 $T$ 为线段 $P Q$ 的中点.

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【13725】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 解答题 如图, 三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面四边形 $A C C_1 A_1$ 为等腰梯形, 底面三角形 $A B C$ 为正三角形, 且 $A C=2 A_1 C_1=2$. 设 $D$ 为棱 $A_1 C_1$ 上的点. (1) 若 $D$ 为 $A_1 C_1$ 的中点, 求证: $A C \perp B D$; (2) 若三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $\frac{7}{8}$, 且侧面 $A C C_1 A_1 \perp$ 底面 $A B C$, 试探究是否存在点 $D$, 使直线 $B D$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ? 若存在, 确定点 $D$ 的位置；若不存在, 说明理由.

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【13724】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 解答题 已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x(a \in \mathrm{R})$. (1) 当 $a=-1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\mathrm{e}, f(\mathrm{e}))$ 处的切线方程; (2) 若 $f(x)$ 既存在极大值, 又存在极小值, 求实数 $a$ 的取值范围.

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【13723】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$, 其中 $b_n=2^{a_n}, n \in \mathrm{N}^*$, 数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. (1) 若 $a_n=2 n$, 求 $S_n$; (2) 若 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, $S_n=3 n$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式.

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【13722】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 填空题 如图, 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 是棱 $C C_1$ 的中点, 记平面 $A D_1 E$ 与平面 $A B C D$ 的交线为 $l_1$, 平面 $A D_1 E$ 与平面 $A B B_1 A_1$ 的交线为 $l_2$, 若直线 $A B$ 分别与 $l_1 l_2$ 所成的角为 $\alpha, \beta$, 则 $\tan \alpha=$ $\qquad$ $\tan (\alpha+\beta)=$ [img=/uploads/2024-05/86127d.jpg][/img]

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【13721】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 填空题 已知 $\triangle A B C$ 外接圆的半径为 1 , 圆心为点 $O$, 且满足 $4 \overrightarrow{O C}=-2 \overrightarrow{O A}-3 \overrightarrow{O B}$, 则 $\cos \angle A O B=$

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【13720】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 填空题 已知成对样本数据 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)(n \geq 2)$ 中, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 不全相等, 且所有样本点 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 都在直线 $y=\frac{1}{2} x+1$ 上, 则这组成对样本数据的样本相关系数 $r=$

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【13719】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 单选题 如图, $O A$ 是连接河岸 $A B$ 与 $O C$ 的一座古桥, 因保护古迹与发展的需要, 现规划建一座新桥 $B C$, 同时设立一个圆形保护区. 规划要求: ①新桥 $B C$ 与河岸 $A B$ 垂直; ②保护区的边界为一个圆, 该圆与 $B C$ 相切，且圆心 $M$ 在线段 $O A$ 上; ③古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任意一点的距离均不少于 $80 \mathrm{~m}$. 经测量, 点 $A 、 C$ 分别位于点 $O$ 正北方向 $60 \mathrm{~m}$ 、正东方向 $170 \mathrm{~m}$ 处, $\tan \angle B C O=\frac{4}{3}$, 根据图中所给的平面直.角坐标系, 下列结论中, 正确的是 [img=/uploads/2024-05/f57835.jpg,width=300px][/img]

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【13718】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 单选题 已知函数 $f(x)=\cos 2 x \cdot \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}$, 则（）

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【13717】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 单选题 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况, 计算得到这 100 名学生中, 成绩位于 $[80,90)$ 内的学生成绩方差为 12 , 成绩位于 $[90,100)$ 内的同学成绩方差为 10 . 则 参考公式: 样本划分为 2 层, 各层的容量、平均数和方差分别为: $m, \bar{x}, s_1^2 ; n, \bar{y}, s_2^2$. 记样本平均数为 $\bar{\omega}$, 样本方差为 $s^2, s^2=\frac{m}{m+n}\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{\omega})^2\right]+\frac{n}{m+n}\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{\omega})^2\right]$ [img=/uploads/2024-05/b43cfb.jpg][/img]

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