【13756】 【 2024重庆市数学预赛试题和参考答案】 解答题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^*\right)$, 若 $a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_6 a_7=3$, 则 $a_{2024}=$

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【13755】 【 2024重庆市数学预赛试题和参考答案】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$, 则 $\triangle A B C$ 最大角的正弦值为

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【13754】 【 2024重庆市数学预赛试题和参考答案】 解答题 若点 $A\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 关于直线 $y=k x$ 对称的点在圆 $(x-2)^2+y^2=1$ 上, 则 $k=$

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【13753】 【 2024重庆市数学预赛试题和参考答案】 解答题 设函数 $f(x)=2^x-2^{-x}$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$, 则不等式 $\left|f^{-1}(x-1)\right|<1$ 的解集为

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【13752】 【 2024重庆市数学预赛试题和参考答案】 解答题 已知复数 $z$ 使得 $z-\frac{4}{z}$ 为纯虚数, 则 $|z-1-i|$ 的最小值为 $\qquad$ . （其中 $\mathbf{i}$ 为虚数单位)

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【13751】 【 冲刺2024年高考数学真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）试题答案】 解答题 已知 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^2+b^2+4 c^2=3$,证明: (1) $a+b+2 c \leq 3$ ； (2)若 $b=2 c$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.

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【13750】 【 冲刺2024年高考数学真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）试题答案】 解答题 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$. (1)写出 $l$ 的直角坐标方程; (2)若 $l$ 与 $C$ 有公共点, 求 $m$ 的取值范围.

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【13749】 【 冲刺2024年高考数学真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）试题答案】 解答题 (1) 证明: 当 $0<x<1$ 时, $x-x^2<\sin x<x$; (2) 已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^2\right)$, 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 求 $a$ 的取值范围.

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【13748】 【 冲刺2024年高考数学真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）试题答案】 解答题 设拋物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点. 当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时, $|M F|=3$. (1)求 $C$ 的方程; (2)设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$. 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.

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【13747】 【 冲刺2024年高考数学真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）试题答案】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_1=1,\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列. (1)求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； (2)证明: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2$.

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