【13736】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 如图, 已知抛物线 $y=a x^2+b x+5$ 经过 $A(-5,0), B(-4,-3)$ 两点, 与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$. (1) 求该抛物线的表达式; (2) 点 $P$ 为该抛物线上一动点 (与点 $B 、 C$ 不重合), 设点 $P$ 的横坐标为 $m$. 当点 $P$ 在直线 $B C$ 的下方运动时, 求 $\triangle P B C$ 的面积的最大值. [img=/uploads/2024-05/193d59.jpg][/img]

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【13735】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 我们知道, 二次函数的图像是抛物线, 它也可以这样定义: 若一个动点 $M(x, y)$ 到定点 $A\left(0, \frac{p}{2}\right)$的距离与它到定直线 $y=-\frac{p}{2}$ 的距离相等, 则动点 $M$ 形成的图形就叫抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$. (1) 已知动点 $M(x, y)$ 到定点 $A(0,4)$ 的距离与到定直线 $y=-4$ 的距离相等, 请写出动点 $M$形成的抛物线的解析式. (2) 若点 $D$ 的坐标是 $(1,8)$, 在 (1) 中求得的抛物线上是否存在点 $P$, 使得 $P A+P D$ 最短?若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存在, 请说明理由. [img=/uploads/2024-05/a45714.jpg,width=540px][/img]

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【13734】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+3$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$, 点 $B$ ( $A$ 在 $B$ 的左侧 ), 与 $y$ 轴相交于点 $C, A$ 、 $B$ 的坐标分别为: $(-2,0) 、(4,0)$, 连接 $A C, B C$. (1) 求抛物线的解析式； ( 2 ) 如图 1 , 点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点, 过点 $P$ 作 $P E \| y$ 轴, 交直线 $B C$ 于点 $E$, 当 $P E-\frac{4}{5} C E$ 有最大值时, 求 $P E-\frac{4}{5} C E$ 的最大值与点 $P$ 的坐标; ( 3 ) 将抛物线向右平移 2 个单位得到新抛物线 $y^{\prime}$, 点 $F$ 为原抛物线 $y$ 与新抛物线 $y^{\prime}$ 的交点, 点 $M$ 是原抛物线 $y$ 上一点, 当 $\angle M B A=\angle F$ $A B$ 时, 直接写出点 $M$ 的坐标. [img=/uploads/2024-05/cc1acd.jpg][/img]

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【13733】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^2+b x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$. (1) 求抛物线的解析式及顶点坐标; ( 2 ) 若点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点, 当 $\triangle P B C$ 面积最大时, 求点 $P$ 的坐标; (3) 若点 $P$ 为抛物线上一点, 点 $Q$ 是线段 $B C$ 上一点 (点 $Q$ 不与两端点重合), 是否存在以 $P 、 Q 、 O$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形, 若存在, 请直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在, 请说明理由. [img=/uploads/2024-05/f049ab.jpg][/img]

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【13732】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 阅读材料: “三等分角” 是数学史上一个著名问题. 今天人们已经知道, 仅用圆规和直尺是不可能作出的. 在研究这个问题的过程中, 数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法, 如图1, 步骤如下: (1)建立直角坐标系, 将已知锐角 $\angle A O B$ 的顶点与原点 $O$ 重合, 角的一边 $O B$ 与 $x$ 轴正方向重合； (2)在直角坐标系中, 绘制函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象, 图象与已知角的另一边 $O A$ 交于点 $P$; (3)以 $P$ 为圆心、以 $2 O P$ 为半径作弧, 交函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象于点 $R$; (4)分别过点 $P$ 和 $R$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线, 分别交于点 $M$, 点 $Q$; (5)连接 $O M$, 得到 $\angle M O B$. 则 $\angle M O B=\frac{1}{3} \angle A O B$. [img=/uploads/2024-05/958245.jpg][/img] 思考问题: （1）设 $P\left(a, \frac{1}{a}\right), R\left(b, \frac{1}{b}\right)$, 求直线 $O M$ 的函数解析式 (用含 $a, b$ 的代数式表示)，并说明 $Q$ 点在直线 $O M$ 上； (2) 证明: $\angle M O B=\frac{1}{3} \angle A O B$. (3) 如图 2 , 若直线 $y=x$ 与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x \neq 0)$ 交于点 $C, D$ 为反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x \neq 0)$ 第一象限上的一个动点, 使得 $\angle C O D=3$ $0^{\circ}$. 求用材料中的方法求出满足条件 $D$ 点坐标.

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【13731】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 如图, 抛物线 $y=-\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B(1,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C(0,2)$,连接 $A C$. （1）求该抛物线的函数表达式及点 $A$ 的坐标; ( 2 ) 求 $D$ 抛是 $x$ 线轴上方抛物线上的动点, 过点 $D$ 作 $D E \perp x$ 轴于点 $E$, 是否存在点 $D$, 使得以 $B 、 D 、 E$ 为顶点的三角形与 $\triangle A O C$ 相似 (含全等)？若存在, 求出点 $D$ 的坐标；若不存在, 请说明理由. [img=/uploads/2024-05/5f58bc.jpg][/img]

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【13730】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 如图，直线 $y=\frac{3}{4} x+3$ 与 $x$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴分别交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点，抛物线 $y=\frac{3}{4} x^2+b x+c$ 经过 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点. [img=/uploads/2024-05/e8a076.jpg][/img] （1）求抛物线的表达式； （2）点 $\mathrm{D}$ 是抛物线在第二象限内的点，过点 $\mathrm{D}$ 作 $x$ 轴的平行线与直线 $\mathrm{AB}$ 交于点 $\mathrm{C}$ ，求 $\mathrm{DC}$ 的长的最大值; (3) 点 $Q$ 是线段 $A O$ 上的动点，点 $P$ 是抛物线在第一象限内的动点，连结 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $N$. 是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A B Q$ 与 $\triangle B Q N$ 相似，若存在，求出点P的坐标; 若不存在，说明理由.

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【13729】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 平面直角坐标系中，抛物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} x^2+a x+b(a$ ，均为常数）与 $\mathrm{y}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}$ ，与 $x$ 轴相交于 $\mathrm{B}(-3 \sqrt{3}, 0), C(\sqrt{3}, 0)$ 两点，连接 $A B ，$ 过点 $C$ 作 $C D // A B$ 交抛物线于点 $D$. [img=/uploads/2024-05/af158e.jpg][/img] (1) 求出该抛物线的函数表达式及点 $\mathrm{D}$ 的坐标; (2) 如图1，已知点 $G$ 是线段 $A B$ 上方抛物线上一点，过点 $G$ 作 $G P \| y$ 轴交 $C D 于 P$ ，在线段 $A C$ 和线段 $C D$ 上分别有两个动点 $K 、 L$ ，且满足 $K L=2 ， M$ 是 $K L$ 的中点，当 $G P+D P$ 取得最大值时，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $R$ ，使得 $R P+R M$ 的值最小? 若存在，请求出 $P$点的坐标以及 $R P+R M$ 的最小值; 若不存在，请说明理由. (3) 如图2， $E$ 是线段 $B O$ 上一定点，且满足 $O E: O B=4 \sqrt{3}: 9$ ，连接 $A E$ ，将线段AE沿 $y$ 轴向下平移 6 个单位至 $H F$ ，连接 $E F ， T$是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，应对点分别是 $A^{\prime} 、 H^{\prime}$ 。在旋转过程中，当 $\Delta E A^{\prime} H^{\prime}$ 是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标.

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【13728】 【 中考压轴题系列1（抛物线）】 解答题 在坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A ， B$ 在 $x$ 轴上， $C(2,-3) ， D(-1,-3)$. 抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与 $x$ 轴交于点 $E(-2,0)$ 和点 $F$. (1)如图1，若抛物线过点 $C$ ，求抛物线的表达式和点 $F$ 的坐标. (2)如图2，在 (1) 的条件下，连接 $C F$ ，作直线 $C E$ ，平移线段 $C F$ ，使点 $C$ 的对应点 $P$ 落在直线 $C E$ 上，点 $F$ 的对应点 $Q$ 落在抛物线上，求点 $Q$ 的坐标. (3) 若抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与正方形 $A B C D$ 恰有两个交点，直接写出 $a$ 的取值范围. [img=/uploads/2024-05/dde7b6.jpg][/img]

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【13727】 【 2024届汕头一模数学试题答案】 解答题 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》, 内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900 多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园, 因为他不知道前面是否有更大的, 所以没有摘, 走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到. 假设小明在果园中一共会遇到 $n$ 颗番石榴（不妨设 $n$ 颗番石榴的大小各不相同), 最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等, 为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 $k(1 \leq k<n)$ 颗番石榴，自第 $k+1$ 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设 $k=t n$, 记该学生摘到那颗最大番不榴的概率为 $P$. （1） 若 $n=4, k=2$, 求 $P$; （2）当 $n$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $P$的最大值及 $P$ 取最大值时 $t$ 的值. $$ \text { (取 } \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots+\frac{1}{n-1}=\ln \frac{n}{k} \text { ) } $$

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