填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $a>2, b, c \neq 0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{b \sin x-\int_{c x^3}^{b x} e^{-t^a} \mathrm{~d} t}{x-\sin x}=$
设 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ 在坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 下关于 $u, v$ 变量的表达式为
给定三个幂级数 $u=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$$
v=x+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots, w=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots $$
则 $u^3+v^3+w^3-3 u v w-1=$
求解如下微分方程通解.
$x\left(y^{\prime}\right)^2+\left(y-2 x^2\right) y^{\prime}-2 x y=0$.
设曲线 $L: x^2+y^2=16$ ， 取逆时针方向，则
$$
\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=
$$
求解如下微分方程通解.
$y^{\prime \prime}+y=\sec x$.
已知 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(x^2+y^2\right)^2+z^4-y$
(1) 若 $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4},(x, y, z \neq 0)$ ，证明:
$$
\frac{\boldsymbol{F}_x^{\prime}}{2 x}+\frac{F_y^{\prime}+1}{2 y}+\frac{\boldsymbol{F}_z^{\prime}}{z}=1 .
$$
(2) 求 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=0$ 所围成立体区域的体积.
设 $f_0(x), f_1(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，满足:
$$
\begin{array}{r}
\int_0^1 f_0(x) \mathrm{d} x \leq \int_0^1 f_1(x) \mathrm{d} x . \\
\text { 设 } f_{n+1}=\frac{2 f_n^2(x)}{f_n(x)+f_{n-1}(x)},(n=1,2, \cdots) .
\end{array}
$$
证明: 序列 $a_n=\int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x,(n=1,2, \cdots)$ 单调递增且收敛.
(1) $a_{n+1}-a_n=e^{-a_n}, a_0=1$, 证明 $a_n-\ln n$ 收敛.
(2) 设 $f(x)$ 为单调递增函数, 且 $f^{\prime}(x)$ 有界,
$$
f(\mathbf{0})=\mathbf{0}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty .
$$
设 $\boldsymbol{F}(x)=\int_0^x f(x) \mathrm{d} x$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$
a_0=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{f\left(a_n\right)}, b_n=F^{-1}(n) .
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-b_n\right)=\mathbf{0}$.