解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 的收敛半径是 $R$ ，试证明
$$
\left.R=\sup _{r \geqslant 0} r:\left|a_n\right| r^n \text { 是有界列 }\right\} .
$$
求下列幂级数的和 $S(x)$ ：
（1） $1+2 x-4 x^3-5 x^4+7 x^6+8 x^7-\cdots(|x| < 1)$ ．
（2）$\sum_{n=1} n^3 x^n(|x| < 1)$ 。
求下列函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 级数展式：
（1）$f(x)=\frac{3 x+8}{(2 x-3)\left(x^2+4\right)}$ ．
试求下列级数的和 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \ln ^n x / n!(x>0)$ ．
设有 $f \in C([0,1]), g \in C([0,1])$ ．若对 $[0,1]$ 中任意的 $y_1, y_2$ 且 $f\left(y_1\right)=f\left(y_2\right)$ 时，必有 $g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right)$ ，试证明存在多项式列 $\left\{P_n(x)\right\}$ ，使得 $P_n[f(x)]$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $g(x)$ 。