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设有 $f \in C([0,1]), g \in C([0,1])$ ．若对 $[0,1]$ 中任意的 $y_1, y_2$ 且 $f\left(y_1\right)=f\left(y_2\right)$ 时，必有 $g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right)$ ，试证明存在多项式列 $\left\{P_n(x)\right\}$ ，使得 $P_n[f(x)]$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $g(x)$ 。
                        
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