单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
随机事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件为
$\text{A.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$ ；
$\text{B.}$ $A \cup B=\Omega$ ；
$\text{C.}$ $P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)$ ；
$\text{D.}$ $A B=\Phi$ ．
设 随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ 概率密度为 $f(x)$ ，那么 $P\{X=a\}$ 的值为
$\text{A.}$ $F(a)$ ；
$\text{B.}$ $f(a)$ ；
$\text{C.}$ 0 ；
$\text{D.}$ $F(a-0)$ ．
设随机变量 $X$ 的分布函数为那么 $Y=2 X$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}2 y, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ；
$\text{B.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}y / 2, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ：
$\text{C.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cl}3 y^2, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ；
$\text{D.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}1 / 2, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ．
设离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为
那么有
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 不独立；
$\text{B.}$ $X$ 与 $Y$ 独立；
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关；
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$ 不独立但不相关．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_9\right)$ 是从正态总体 $X \sim N\left(1,3^2\right)$ 中抽取的一个样本， $\bar{X}$ 表示样本均值，那么有
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}-1}{3} \sim N(0,1)$ ；
$\text{B.}$ $\bar{X}-1 \sim N(0,1)$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-1}{9} \sim N(0,1)$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为 $0.9,0.8,0.7$ 那么这三台机器中至少有一台发生故障的概率为
一射手对同一目标独立地进行射击，直到射中目标为止，每次命中率为 $\frac{3}{5}$ ，那么射击次数的数学期望为
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为
那么常数 $a$ 与 $b$ 应满足的条件是 ()
假设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，那么 $a=()$ ，$b=()$
设随机向量 $(X, Y) \sim N\left(-1,2 ; 1,4 ; \frac{1}{2}\right)$ ，且随机变量 $Z=X-2 Y+7$ ，那么 $Z \sim$
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是从正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取的一个样本， $\bar{X}$ 是其样本均值，那么有 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$ $\_\_\_\_$ ；$D\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某厂生产的产品以 100 件为一批，进行检验时，只从每批中任取 10 件，如果发现其中有次品，那么认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品数最多不超过 4 件，并且次品数从 0 到 4 是等可能的。（1）求一批产品通过检验的概率；（2）假设产品通过检验，求该批产品中有 3 件次品的概率。
袋中有 2 只白球和 3 只黑球，进行无放回取球，记
$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { 第一次取出白球 } \\
0 & \text { 第一次取出黑球 }
\end{array}, \quad Y= \begin{cases}1 & \text { 第二次取出白球 } \\
0 & \text { 第二次取出黑球 }\end{cases}\right.
$$
（1）求随机向量 $(X, Y)$ 的联合分布律；
（2）求随机变量 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布律，且判断随机变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立。
设二维随机向量 $(X, Y)$ 服从区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1,0 < y < 1$ ，且 $x+y < 1\}$ 内的均匀分布，求（1）随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数；（2）$X$ 与 $Y$ 的边缘密度函数；（3）$X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
设总体 $X$ 的密度函数为
其中 $\theta$ 为末知参数．$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是从该总体中抽取的一个样本．试求未知参数 $\theta$ 的矩估计量和极大似然估计量．
某仪器间接测量温度，重复测得 5 次得观测数据如下： $1250,1265,1245,1260,1275$ 。仪器无系统偏差，试以 $95 \%$ 的置信度估计温度真值的范围。
按两种不同的橡胶配方生产橡胶，测得橡胶伸长率如下：
配方 1：540，533，525，521，543，531，536，529，534
配方 2： $565,577,580,575,556,542,560,532,570,561$
假设橡胶伸长率服从正态分布，问两种配方生产的橡胶其伸长率的方差是否有显著差异？
每个家庭对某种商品平均年需求量 $d$ 与该商品价格 $p$ 之间的一组数据如下表：
经计算得 $\sum_{i=1}^{10} p_i=25, \sum_{i=1}^{10} d_i=25, \sum_{i=1}^{10} p_i^2=67.28, \sum_{i=1}^{10} d_i^2=74.68, \sum_{i=1}^{10} p_i d_i=54.97$
（1）试求年均需求量对价格的样本线性回归方程；
（2）用相关系数检验方法检验 $d$ 与 $p$ 之间是否存在线性相关关系。 $(\alpha=0.05)$