单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
（2024，数农）设向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-a, 1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(1,1$ ， $-a)^{\mathrm{T}}$ ，则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩为 3 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $(a-2)(a+1) \neq 0$ ．
$\text{B.}$ $a(a+1) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 2$ ．
$\text{D.}$ $a \neq-1$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关．
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_1$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，而向量 $\boldsymbol{\beta}_2$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，则对于任意常数 $k$ ，必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_4=(1,2,4, a+8)$及 $\boldsymbol{\beta}=(1,1, b+3,5)$ ．
（1）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的线性组合？
（2）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的唯一线性表示式？写出该表示式．
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(3,10, b, 4)^{\mathrm{T}}$ ，问
（1）$a, b$ 取何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？
（2）$a, b$ 取何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？并写出此表示式．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 2,10)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,1,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,1,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1, b, c)^{\mathrm{T}}$ ．试问：当 $a, b, c$ 满足什么条件时，
（1） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，且表示唯一？
（2） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？
（3） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,3), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,3, t)$ ．
（1）问当 $t$ 为何值时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关？
（2）当 $t$ 为何值时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关？
（3）当 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关时，将 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 表示为 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 的线性组合．
设四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4 =(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $a$ 为何值时， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关？当 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，证明： $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关．
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ．证明：$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=m$ ．