解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ．
（1）证明：$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-\frac{1}{2}\left(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2\right)$ ；
（2）若还有 $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}|$ ．
利用向量证明直径所对的圆周角是直角．
设 $\boldsymbol{m}=(2,5,10), \boldsymbol{n}=(5,-4,-7)$ 和 $\boldsymbol{p}=(4,-2,3)$ ，求向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}-3 \boldsymbol{p}$ 的模及在 $x$轴上的投影
设 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 均为非零向量，其中任意两向量不共线，但 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，$\vec{b}+\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 共线，试证：$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$
已知 $\vec{a}=(7,-4,-4), \vec{b}=(-2,-1,2)$ ，向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的角平分线上，且 $|\vec{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标．