解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
根据定义，讨论下列函数的可导性：
（1）$f(z)=\operatorname{Im} z$ ；
（2）$f(z)=|z|^2$ ．
讨论函数
$$
f(z)= \begin{cases}\frac{x\left(x^2+y^2\right)(y-\mathrm{i} x)}{x^2+y^4}, & z \neq 0 \\ 0, & z=0\end{cases}
$$
在原点 $z=0$ 处的可导性．
分析 分片定义的函数在分界点的解析性一定要用定义来考察．
下列函数在何处可导？何处解析？
（1）$f(z)=2 x y^2+\mathrm{i} x^2 y$ ；
（2）$f(z)=2 x^3+\mathrm{i} 3 y^3$ ；
（3）$f(z)=\sin x \operatorname{ch} y+\mathrm{i} \cos x \operatorname{sh} y$ ．
设 $f(z)=m y^3+n x^2 y+\mathrm{i}\left(l x^3-3 x y^2\right)$ 为解析函数，试确定 $m, n, l$的值．
证明函数 $w=x^2-y^2-y+\mathrm{i}(2 x y+x)$ 在 $z$ 平面上解析，并求其导函数．
设二元实函数 $u=u(x, y)$ 有偏导数，这一函数可写成 $z=x+\mathrm{i} y$ 及 $\bar{z}=x-\mathrm{i} y$ 的函数
$$
u(x, y)=u\left(\frac{z+\bar{z}}{2}, \frac{z-\bar{z}}{2 \mathrm{i}}\right)
$$
再把 $z, \bar{z}$ 看作彼此相互独立的变量，证明：
$$
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) ; \quad \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$
设函数 $f(z)=a \ln \left(x^2+y^2\right)+\mathrm{i} \arctan \frac{y}{x}$ 在 $\operatorname{Re} z=x>0$ 时解析，试确定 $a$ 的值．
$ w=u+\mathrm{i} v$ 为 $z$ 的解析函数，且 $u-v=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right)$ ，求出 $u$ 及 $v$ 。
试利用极坐标形式的 C－R 方程，证明
$$
f^{\prime}(z)=\frac{r}{z}\left(\frac{\partial u}{\partial r}+\mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial r}\right)
$$
验证函数 $u=\ln \left(x^2+y^2\right)+2 x-y$ 是一个调和函数．
已知 $u(x, y)=-3 x y^2+x^3$ 为调和函数，求满足 $f(0)=C$ 的解析函数 $f(z)=u+\mathrm{i} v$
计算下列函数值：
（1） $\exp \left\{\frac{2-\pi i}{3}\right\}$ ；
（2）$\left|\exp \left\{4-\mathrm{i} \frac{\pi}{2}\right\}\right|$ ；
（3） $\operatorname{Re}\left(\mathrm{e}^{k \pi \mathrm{i}}\right)$ ．
求出下列复数的辐角主值：
（1） $\mathrm{e}^{2-\mathrm{i}}$ ；
（2） $\mathrm{e}^{3+4 \mathrm{i}}$ ；
计算下列函数值：
（1）Lni；
（2） $\operatorname{Ln}(2-\mathrm{i} \sqrt{2})$ ；
计算下列函数值：
（1） $3^i$ ；
（2）$(1+\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$ ；
计算下列函数值：
（3）$(3+4 \mathrm{i})^{1+\mathrm{i}}$ ；
（4）$(-3)^{\sqrt{5}}$ ．
计算下列函数值：
（1） $\cos (\pi+5 \mathrm{i})$ ；
（2）$|\sin (1+\mathrm{i})|^2$ ；
计算下列函数值：
（1）Arcsin3；
（2） $\operatorname{Arctan} \frac{i}{3}$ ；
已知静电场的复势为 $f(z)=\frac{\mathrm{i}}{z}$ ，求力线、等势线和场强向量．
$(1+\mathrm{i})^{1-\mathrm{i}}$