设二元实函数 $u=u(x, y)$ 有偏导数，这一函数可写成 $z=x+\mathrm{i} y$ 及 $\bar{z}=x-\mathrm{i} y$ 的函数

$$
u(x, y)=u\left(\frac{z+\bar{z}}{2}, \frac{z-\bar{z}}{2 \mathrm{i}}\right)
$$

再把 $z, \bar{z}$ 看作彼此相互独立的变量，证明：

$$
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) ; \quad \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$