单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量 $\alpha_1=\int_x^{2 \sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, \alpha_2=\int_x^{\mathrm{e}^x-1} \ln \cos t \mathrm{~d} t, \alpha_3=\int_{x^2}^x \frac{\tan ^3 t}{t} \mathrm{~d} t$ 关于 $x$ 的阶数分别为
$\text{A.}$ $2,3,4$
$\text{B.}$ $3,3,3$
$\text{C.}$ $3,5,3$
$\text{D.}$ $3,4,3$
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1.
在 $O x y$ 平面上，光滑曲线 $L$ 过 $(1,0)$ 点，并且曲线 $L$ 上任意一点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x(a>0$ 为常数）．如果 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成的平面图形的面积为 8 ，则 $a$ 的值为
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 4.
$\text{C.}$ 6 ．
$\text{D.}$ 8 ．
设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{|x|^m+|y|^n}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 其中 $m, n$ 是两个正整数，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续的充要条件是
$\text{A.}$ $m>2$ 且 $n>2$ ．
$\text{B.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n>2$ ．
$\text{C.}$ $m>2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
$\text{D.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量。则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．
已知向量组（I ） $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ ，（II） $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，则
$\text{A.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价。
$\text{B.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价。
$\text{C.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$\text{D.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，且 $F(0)=0$ ，则下列函数可作为分布函数的是
$\text{A.}$ $G_1(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $G_2(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $G_3(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $G_4(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
将长度为 1 米的木棒随机地截成两段，设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$ ，第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$ ，则 $X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$ ．
$\text{D.}$ 1 ．
一颗陨石等可能地坠落在区域 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 后，有关部门千方百计地要找到它．根据现有的搜索条件，如果陨石坠落在 $A_i$ ，则在该区域被找到的概率是 $p_i$（这里 $p_i$ 是由 $A_i$ 的地貌条件决定的，$i=1,2,3,4$ ）．现对 $A_1$ 搜索后没有发现这块陨石，则陨石坠落在 $A_4$ 的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1-p_1}{4-p_1}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{4-p_1}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式
$$
f(x)+2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x
$$
则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=x^2+\mathrm{e}^{-3 x^2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\left[1-\sin ^6(\pi x)\right] \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x
$$
则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
设 $a>0, b>0, f(x, y)=\max \left\{\mathrm{e}^{b^2 x^2}, \mathrm{e}^{a^2 y^2}\right\}$ ，则 $\int_0^a \mathrm{~d} x \int_0^b f(x, y) \mathrm{d} y=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量。已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布．令 $\left\{\begin{array}{l}U=|X+Y| \\ V=|X-Y|\end{array}, F(u, v)\right.$ 是 $(U, V)$ 的联合分布函数，则 $F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
某企业生产的一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为 $Q_1$ 和 $Q_2$ ，两个市场的价格函数分别为
$$
p_1=120-5 Q_1 \text { 和 } p_2=200-20 Q_2 \text {. }
$$
设总成本函数为
$$
C=35+40\left(Q_1+Q_2\right) .
$$
企业应向每个市场各投人多少产品，使获得的总利润最大，最大总利润为多少？
计算 $I=\iint_D\left(x^3 \cos y+x^2+y^2-\sin x-2 y+1\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+(y-1)^2 \leqslant\right. \left.2, x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ．
已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}{n^\alpha}=A \neq 0$ ．
（1）试确定 $\alpha$ 和 $A$ 的值．
（2）证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^{\alpha-1}}{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ 收敛，并求其和．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$ ．
（1）求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．
（2）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形．
（3）当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时，确定常数 $a$ ，使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵，并求二次型 $g(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 在 $x^{\mathrm{T}} x=2$ 下的最大值．
设总体 $X \sim N\left(\alpha+\beta, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\alpha-\beta, \sigma^2\right), X$ 和 $Y$ 相互独立．
（1）若 $\alpha, \beta$ 未知，$\sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，试求 $\alpha, \beta$ 的矩估计量和最大似然估计量．
（2）求（1）中矩估计量及最大似然估计量的数学期望和方差．
（3）当 $\alpha, \beta, \sigma^2$ 为何值时，可使 $(X+Y)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布？