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设 $a>0, b>0, f(x, y)=\max \left\{\mathrm{e}^{b^2 x^2}, \mathrm{e}^{a^2 y^2}\right\}$ ，则 $\int_0^a \mathrm{~d} x \int_0^b f(x, y) \mathrm{d} y=$
                        
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