单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y, & x y \neq 0, \\ x, & y=0, \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 给出下列结论
（1）$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0.0)}=1$ ．
（2）$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ．
（3） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ．
（4） $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$ ．
正确的个数为
$\text{A.}$ 4．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 1 ．
设 $f(x, y)$ 具有一阶偏导数，且在任意的 $(x, y)$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则
$\text{A.}$ $f(0,0)>f(1,1)$ ．
$\text{B.}$ $f(0,0) < f(1,1)$ ．
$\text{C.}$ $f(0,1)>f(1,0)$ ．
$\text{D.}$ $f(0,1) < f(1,0)$ ．
设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意的 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right) < f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是
$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$ ．
$\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$ ．
$\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$ ．
$\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$ ．
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0.0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ ．
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在．
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在．
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在．
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在．
已知函数 $f(x, y)=\frac{\mathrm{e}^x}{x-y}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$ ．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$ ．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$ ．
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$ ．
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 为某函数的全微分，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ 0 ．
$\text{C.}$ 1 ．
$\text{D.}$ 2 ．
设有三元方程 $x y-z \ln y+\mathrm{e}^{r z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ 。
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ 。
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．
设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点是
$\text{A.}$ $(0,0)$ ．
$\text{B.}$ $(0,3)$ ．
$\text{C.}$ $(3,0)$ ．
$\text{D.}$ $(1,1)$ ．
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{r \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ 。
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．