单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知．$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ 。从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其均值、方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ，记 $S_k=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k-1,2,3,4 \cdots)$ ，则
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ ，则
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $T \sim t(n)$ ，则 $T^2$ 服从什么分布？
设随机变量 $X$ 服从自由度为 $\left(n_1, n_2\right)$ 的 $F$ 分布，则随机变量 $Y=\frac{1}{X}$ 服从参数为 $\_\_\_\_$的 $\_\_\_\_$分布
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自参数为 $\lambda$ 的泊松总体的样本，其均值、方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．则 $E \bar{X}=$ $\_\_\_\_$ ，$D \bar{X}=$ $\_\_\_\_$ ，$E\left(S^2\right)=$ $\_\_\_\_$ ．样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布律为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自 $X$ 的样本。
（1）写出 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 的联合概率密度；
（2）写出 $\bar{X}$ 的概率密度．
设总体 $X \sim E(\lambda)$ ，则来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合概率密度函数为
设总体 $X \sim B(1, p), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本．
（1）求 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的分布律；
（2）求 $\sum_{i=1}^n X_i$ 的分布律；
（3）$E(\bar{X}), D(\bar{X}), E\left(S^2\right)$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，试求下列统计量的分布：
（1）$Y_1=\frac{X_1^2+X_3^2+\cdots+X_{2 n-1}^2}{X_2^2+X_4^2+\cdots+X_{2 n}^2}$ ；
（2）$Y_2=\frac{X_1+X_3+\cdots+X_{2 n-1}}{\sqrt{X_2^2+X_4^2+\cdots+X_{2 n}^2}}$
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 来自总体 $N(0,1), Y=\left(X_1+X_2+X_3\right)^2+\left(X_4+X_5+X_6\right)^2$ ，试确定常数 $c$ 使得 $c Y$服从 $\chi^2$ 分布．
设总体 $X$ 的概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}|x|, & |x| < 1 \\ 0, & \text { 其它．}\end{array}, \bar{X}, S^2\right.$ 分别为取自总体 $X$ ，样本容量为 $n$ 的一个样本的均值和方差．试求 $E \bar{X} 、 D \bar{X} 、 E\left(S^2\right)$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量 $Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\_\_\_\_$分布，参数为 $\_\_\_\_$ ．