解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$
计算$ \int x^5\left(2-5 x^3\right)^{\frac{2}{3}} d x$
计算$ \int \frac{\cos ^5 x}{\sin ^4 x} d x$
计算 $ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$
计算 $ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(x^2+\tan ^{2011} x\right) d x$
设 $ F(x)=\int_{\cos x}^{\sin x} \ln (t+1) d t$，求 $ F^{\prime}(x) $
求 曲线 $y=\int_0^x \sqrt{\sin t} d t, x \in(0, \pi) $ 的弧长
研究正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{2^{n^2}}$ 的敛散性
研究正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cos ^2 \frac{n \pi}{3}}{2^n}$ 的敛散性
利用 Tayor 展式研究正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n \ln \frac{2 n+1}{2 n-1}-1\right)$ 的敛散性
设 $f(x)$ 满足 $\int_0^1 f(t x) d t=f(x)+x \sin x, f(0)=0$ ，且有一阶导数，求 $f^{\prime}(x)(x \neq 0)$
设 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leq x \leq 1, y \geq 0$ 时，又与 $x$ 轴，$x=1$ 所围成的面积 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ 使此图形绕 $x$ 轴旋转而成的立体体积最小，并求出此体积大小。
研究级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{3 n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 的绝对收敛或条件收敛性。
$a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x d x$ ，（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；（2）证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda} \quad(\lambda>0)$ 收敛。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明： $\int_0^1\left|x-\frac{1}{2}\right|^n d x=\frac{1}{2^n(n+1)}, n$ 为自然数；
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且满足 $\int_0^1 x^n f(x) d x=1, \quad \int_0^1 x^k f(x) d x=0 \quad k=0,1, \ldots, n-1$ ，则有 $\max _{0 \leq x \leq 1}|f(x)| \geq 2^n(n+1)$ 。