为了求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}$ 的值，可令 $S=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}$ ，则 $2 S=2+2^2+2^3+2^4 \cdots+2^{2024}$ ，因此 $2 S-S=2^{2024}-1$ ，所以 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}=2^{2024}-1$ ．请仿照以上推理计算出 $1+4+4^2+4^3+\cdots+4^{2023}$ 的值是

小明为了求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}$ 的值，进行了以下探究：他令 $M=1+2+2^2+2^3+\mathrm{L}+2^{100}$ ，在等式两边同乘 2 得， $2 M=2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{L}+2^{101}$ ，因此 $2 M-M=2^{101}-1$ ，所以 $M=2^{101}-1$ ．即 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}=2^{101}-1$ ．请仿照以上推理计算： $1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2023}$ 的值为

求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}$ 的值，可令 $S=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}$ ，则 $2 S=2+ 2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2025}$ ，因此 $2 S-S=2^{2025}-1$ ．仿照以上方法，计算出 $1+5+5^2+5^3+ \cdots+5^{2024}$ 的值为

在求 $1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9$ 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设：$S=1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+ 6^8+6^9(1)$ ，然后在（1）式的两边都乘以 6 ，得 $6 S=6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9+ 6^{10}(2)$ ，（2）－（1）得 $6 S-S=6^{10}-1$ ，即 $5 S=6^{10}-1$ ，所以 $S=\frac{6^{10}-1}{5}$ 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把＂ 6 ＂换成字母＂$a$＂$(a \neq 0$ 且 $a \neq 1)$ ，能否求出 $1+a+a^2+a^3+a^4+\cdots+a^{2023}$的值？你的答案是

为了求 $1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2011}$ 的值，可令 $S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2011}$ ，则 $3 S= 3+3^2+3^3+\cdots+3^{2012}$ ，因此 $3 S-S=3^{2012}-1$ 所以 $S=\frac{3^{2012}-1}{2}$ ，仿照以上推理计算出 $S=1+7+7^2+7^3+\cdots+7^{2021}$ 的值是

计算 $1+3+3^2+\cdots+3^{100}$ 的值时，令 $S=1+3+3^2+\cdots+3^{100}$ ，则 $3 S=3+3^2+3^3+\cdots +3^{100}+3^{101}$ ，因此 $3 S-S=3^{101}-1$ ，所以 $S=\frac{3^{101}-1}{2}$ ．仿照以上推理，计算： $1-4+4^2- 4^3+4^4-4^5+\cdots 4^{2020}-4^{2021}=$

《庄子•天下篇》中记载道：＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂．这句话的意思是：＂一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完＂．根据这句话计算： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{2023}}+ \frac{1}{2^{2024}}=$

计算： $1-5+5^2-5^3+5^4-5^5+\cdots+5^{2020}-5^{2021}+5^{2022}-\frac{5^{2023}}{6}=$

观察下列运算过程：

$$
S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2016}+3^{2017},
$$

（1）$\times 3$ ，得 $3 S=3+3^2+3^3+\cdots+3^{2017}+3^{2018}$ ，
（2）－（1），得 $2 S=3^{2018}-1, S=\frac{3^{2018}-1}{2}$ ．
用上面的方法计算： $1+5+5^2+5^3+\cdots+5^{2017}$ ．

阅读材料：求 $1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}$ 的值．
解：设 $S=1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}$
将等式两边同时乘以 2 ，得 $2 S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$
将下式减去上式，得 $S=2^{2025}-1$
即 $1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}=2^{2025}-1$
请你仿照此法计算：
（1） $1+3+3^2+3^3+...+3^{10}$
（2）$\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{19}}$

10．【阅读理解】
求若干个相同的有理数（均不等于 0 ）的除法运算叫做除方，如： $5 \div 5 \div 5,(-8) \div(-8) \div (-8) \div(-8)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $5 \div 5 \div 5$ 记作 $5^{(3)}$ ，读作＂ 5 的圈 3 次方＂，$(-8) \div (-8) \div(-8) \div(-8)$ 记作 $(-8)^{(4)}$ ，读作＂-8 的圈 4 次方＂，一般的，把 $\underbrace{a \div a \div a \div \cdots \div a}_{n \uparrow a}$ 记作 $a^{(n)}$ ，读作 $a$ 的圈 $n$ 次方＂．
（1）直接写出计算结果：$(-6)^{(4)}=$ $\_\_\_\_$ ；

【类比探究】
（2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式：

$$
\begin{aligned}
& \left(-\frac{1}{7}\right)^{(10)}=\ldots \quad(n \geq 2 \text { 且 } n \text { 为正整数 }) ; ~ \\
& \left(-\frac{1}{a}\right)^{(10)}=\quad(n \geq 2 \text { 且 } n \text { 为正整数 }) ; ~
\end{aligned}
$$

【实践应用】
（3）计算：
（1）$\left(-\frac{1}{4}\right)^{\text {（4）}} \times(-4)^{\text {（5）}}-\left(\frac{1}{3}\right)^{\text {（4）}} \div 6^{\text {（3）}}$ ；
（2）$\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（3）}}+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（4）}}+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（5）}}+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（10）}} \quad$（其中 $n=2022$ ）．