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厦门大学《线性代数A》期末考试试卷

发布日期 2025/10/6 21:32:35      查看 4      加入组卷      查看作者     
填空题
令 $A=(1,0,3,5)^T, B=(-2,8,6,9)^T$, 则 $A^T B=$, $A B^T=$
若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 $2, \beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是它的三个解向量，且 $\beta_1+\beta_2=(2,-6,3)^T, \beta_2+\beta_3=(-6,8,5)^T$ ，则该线性方程组的通解是
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & t \\ t & -3 & 6 \\ -2 & t & 5\end{array}\right)$ 的行向量线性相关，则实数 $t$ 满足的条件是
令 $A_{i i}$ 是三阶矩阵 A 的元素 $a_{i i}$ 的代数余子式 $(i=1,2,3)$ ，若 A 的特征值为 3,4,5 ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & c+2 & 0 \\ 1 & 0 & c-5\end{array}\right)$ 是正定矩阵，则 $c$ 的取值范围为
单选题
设 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 均为 n 阶正交矩阵，则
$\text{A.}$ $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 为正交矩阵 $\text{B.}$ $\mathrm{A}-\mathrm{B}$ 为正交矩阵 $\text{C.}$ $BAB$ 为正交矩阵 $\text{D.}$ $k \mathrm{AB}$ 为正交矩阵（ $k>0$ 为实数）
设 A 为 m 阶可逆矩阵， B 为 n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 $D=\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的逆矩阵是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}B^{-1} & O \\ O & A^{-1}\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & A^{-1} \\ B^{-1} & O\end{array}\right)$
设 $\alpha$ 与 $\beta$ 是线性无关的单位向量，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积必
$\text{A.}$ > 0 $\text{B.}$ < 0 $\text{C.}$ > 1 $\text{D.}$ < 1
设 A 为 $n$ 阶可逆矩阵，$A^T, A^{-1}, A^*$ 分别是 A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若 $\xi$ 是 A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是
$\text{A.}$ $\xi$ 是 $A^T$ 的特征向量 $\text{B.}$ $2 \xi$ 是 $A^{-1}$ 的特征向量 $\text{C.}$ $3 \xi$ 是 $A^*$ 的特征向量 $\text{D.}$ $4 \xi$ 是 $k A$ 的特征向量（ $k$ 为常数）
设 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}6 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 是相似的且是合同的 $\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 是相似的但不是合同的 $\text{C.}$ $A$ 与 $B$ 不是相似的但是合同的 $\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 不是相似的也不是合同的
解答题
试求五元齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+3 x_2+3 x_3+x_4+x_5=0, \\
-x_1+x_2+x_3-x_4+3 x_5=0, \\
x_1+x_2+x_3+x_4-x_5=0
\end{array}\right.
$$


的解空间 V（作为 $R^5$ 的子空间）的一组规范（标准）正交基。
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & -3\end{array}\right)$ 的特征值和特征向量，并计算 $A^9$ 的特征值。
令 $\alpha_1=(1, k, 1)^T, \alpha_2=(k, 1,1)^T, \alpha_3=(-1, k-2,-1)^T, \beta=(-1, k-2,-1)^T$ ，
问 $k$ 为何值时
（1）向量 $\beta$ 不能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示；
（2）向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表示法唯一；
（3）向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式
设三元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2-3 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_2 x_3$ ，试求一个可逆线性变换 $x=P y$ 的将此二次型化为规范型．
证明题
令 A 为 n 阶正定矩阵，证明：（1）存在 n 阶实可逆矩阵 P ，使得 $A=P^T P$ ；为（2）对任意 n 阶实可逆矩阵 $B$ ，存在 n 阶可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 与 $Q^T B Q$ 均为对角矩阵．

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