单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设有直线 $l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+5}{2}=\frac{z+2}{1}$ 与 $l_2:\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=2 \\ y+z=3\end{array}\right.$ ，则 $l_1$ 与 $l_2$的夹角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in[-1,1]\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第一类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个不可导点。
设 $f(x)=\int_0^{\sin x} x \sin \left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 与 $\alpha x^\beta$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{3}, \beta=3$ ；
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{3}, \beta=4$ ；
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{4}, \beta=3$ ；
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{4}, \beta=4$ ．
设 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ， $I_3=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有
$\text{A.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ；
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ；
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$ ；
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$ 。
设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有连续的四阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{(4)}\left(x_0\right)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 取极小值；
$\text{B.}$ 点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点；
$\text{C.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 取极大值；
$\text{D.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 某邻域单调增加。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)=\mathrm{e}^{2012 x} x(x+1)(x+2) \cdots(x+2012)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
设平面 $2 x+3 y-6 z=12$ 与三个坐标轴的交点为 $A 、 B$ 和 $C$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
微分方程 $y y^{\prime}-\mathrm{e}^{y^2-2 x}=0$ 满足初始条件 $y(2)=2$ 的特解为
曲线 $\left.y=\sin ^4 \pi\right)(0 \leq x \leq \pi$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积为 (注：此题可能有误)
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
全面讨论函数 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 的性态，并描绘出其图形。
（已知 $y^{\prime}=\frac{(x+1)(x-2)}{x^2} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, y^{\prime \prime}=\frac{5 x+2}{x^4} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ）
$\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right) \mathrm{d} x$
$\int \frac{d x}{2+\cos x}$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2+4 x}}$ 。
求二阶微分方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 \ln x$ 的通解。
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x \sin ^2 x$ 的通解。
求过平面 $x-3 y-z-4=0$ 和平面 $2 x-y+z-1=0$ 的交线，且与球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 相切的平面方程。
设 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$ 。
（1）证明：$f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数；
（2）求 $f(x)$ 的值域。
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，且 $1 < f(x) < 3$ 。证明：
$$
1 \leq \int_0^1 f(x) d x \int_0^1 \frac{1}{f(x)} d x < \frac{4}{3}
$$