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国防科技大学朱健民课件讲义第3章复变函数积分

发布日期 2025/8/26 14:43:44      查看 1      加入组卷      查看作者     
单选题
设 $C$ 是 0 到 $2+i$ 的直线段，则积分 $\int_C \operatorname{Im} z d z$ 的值是（ ）．
$\text{A.}$ $2-i$ $\text{B.}$ $2+i$ $\text{C.}$ $1-\frac{i}{2}$ $\text{D.}$ $1+\frac{i}{2}$
设 $C$ 为由原点到 $1+i$ 的直线段，则积分 $\int_C(\bar{z})^2 d z$ 等于（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(1+i)$ $\text{B.}$ $\frac{2}{3}(1-i)$ $\text{C.}$ $\frac{2}{3}(-1+i)$ $\text{D.}$ $-\frac{2}{3}(1+i)$
设 $C$ 为 $|z|=a>0$ ，则积分 $\oint_C\left(|z|-e^z \sin z\right) d z=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $i$ $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ -1
设 $C$ 为 $|z|=2$ 的正向圆周，则积分 $\oint_C \frac{\bar{z}}{|z|} d z=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\pi i$ $\text{B.}$ $4 \pi i$ $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ $2 \pi i$
设 $C=C_1+C_2+C_3+C_4, C_1$ 为 $|z|=2$ 逆时针上半圆，$C_2$ 为沿 $x$ 轴从 $-2 \rightarrow-1, C_3$ 为 $|z|=1$ 顺时针上半圆，$C_4$ 为沿 $x$ 轴从 $1 \rightarrow 2$ ，则积分 $\oint_C \frac{Z}{\bar{Z}} d z=(\quad)$ ．

$\text{A.}$ $\frac{8}{3}$ $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
设 $L$ 为 $|z|=2$ ，则积分 $\oint_L \frac{3 z-1}{z(z-1)} d z=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $4 \pi i$ $\text{B.}$ $2 \pi i$ $\text{C.}$ $6 \pi i$ $\text{D.}$ 0
设 $C$ 是正向圆周 $|z|=\frac{3}{2}$ ，下列积分不等于 0 的是（ ）．
$\text{A.}$ $\oint_C \frac{\sin (\pi z)}{z-1} d z$ $\text{B.}$ $\oint_C \frac{\cos (\pi z)}{z-1} d z$ $\text{C.}$ $\oint_C \frac{1}{z^2+2 z+4} d z$ $\text{D.}$ $\oint_C z e^z d z$
设 $a$ 为非零的复数，$C$ 是不经过 $a$ 与 $-a$ 的正向简单闭曲线，且积分 $\oint_C \frac{z}{z^2-a^2} d z=2 \pi i$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $a$ 与 $-a$ 均不在 $C$ 内 $\text{B.}$ $a$ 在 $C$ 内但 $-a$ 不在 $C$ 内 $\text{C.}$ $-a$ 在 $C$ 内但 $a$ 不在 $C$ 内 $\text{D.}$ $a$ 与 $-a$ 均在 $C$ 内
设 $C:|z|=\frac{3}{2}$ 取逆时针方向，则积分 $\oint_C \frac{d z}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+4\right)}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $4 \pi i$ $\text{B.}$ $2 \pi i$ $\text{C.}$ $6 \pi i$ $\text{D.}$ 0
设 $L:|z|=2$ 为逆时针方向，则积分 $\oint_L \frac{\sin \frac{\pi z}{4}}{z^2-1} d z=()$ ．
$\text{A.}$ $\pi i$ $\text{B.}$ $2 \pi i$ $\text{C.}$ $\sqrt{2} \pi i$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} \pi i$
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3, g(\zeta)=\oint_C \frac{2 z^2-z-2}{z-\zeta} d z(|\zeta| \neq 3)$ ，则 $g(2)$ 的值为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $2 \pi i$ $\text{C.}$ $4 \pi i$ $\text{D.}$ $8 \pi i$
填空题
设 $C$ 是以 $a$ 为中心、 $\rho$ 为半径的圆周，则 $\int_C \frac{d z}{(z-a)^2}=$ $\qquad$ ．
设 $C$ 为 0 到 $1+i$ 的直线段，设 $I=\int_C 3\left(x-y+i x^2\right) d z$ ，则 $\operatorname{Re} I=$ $\qquad$ ．
设 $C$ 为圆周 $|z|=1$ 从 1 到 -1 的上半部分，则 $I=3 \int_C\left(z^2+\overline{z \bar{z}}\right) d z=$ $\qquad$ ．
设 $C$ 为沿坐标轴或平行于坐标轴的直线段所围成，沿 $0 \rightarrow 1 \rightarrow 1+i \rightarrow i \rightarrow 0$ 的方向，则 $I=\int_C \frac{1}{z-2-i} d z=$ $\qquad$。
设 $C$ 是圆周 $|z|=1$ 从 -1 到 1 的上半部分，积分 $\int_C z e^{z+1} d z$ 的值为 $\qquad$
设 $C:|z|=4$ 为逆时针方向，则 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{3 z-1}{z^2-2 z-3} d z$ 的值是 $\qquad$ ．
设 $C:|z|=2$ 为逆时针方向，则积分 $\oint_C \frac{\sin z d z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^4}=$ $\qquad$
设 $C$ 是正向圆周 $|z-2 i|=2$ ，则 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{z}{z^2+1} d z$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $C:|z-1|=\frac{1}{2}$ 为逆时针方向，则积分 $\oint_C \frac{ e ^z}{z(1-z)^2} d z$ 的值是 $\qquad$ ．
设 $C:|z|=1$ 为逆时针方向，则 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{z}{(2 z+1)(z-2)} d z$ 的值是 $\qquad$ ．
判断题
设复平面上简单光滑闭曲线 $C$ 所围成区域的面积为 $s$ ，则 $\oint_C \operatorname{Re} z d z=i s$ 。（ ）
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $C$ 是任意不经过 $a$ 简单闭曲线，$n$ 为任意整数，则积分 $\oint_C(z-a)^n d z$ 的值与 $a$ 有关．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内解析，$C$ 是 $B$ 内任意一条正向简单闭曲线，则积分 $\oint_C \operatorname{Re}[f(z)] d z$ 与积分 $\oint_C \operatorname{Im}[f(z)] d z$ 的值均为零。
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $C$ 是单位圆周 $|z|=1$ ，则 $\oint_C \bar{z} d z=2 \pi i$ ．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设函数 $f(z)$ 为区域 $D$ 内的解析函数，$z_0$ 为 $D$ 内一定点，对于任意的 $z \in D$ ，在 $D$ 内作连接 $Z_0$ 和 $Z$ 的简单光滑曲线 $C$ ，则函数 $F(z)=\int_C f(\zeta) d \zeta$ 为 $D$ 内的单值解析函数．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
积分 $\int_{|z|=2} \frac{1}{z^2+1} d z$ 的值等于零．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $n$ 为大于 1 的正整数，则积分 $\oint_{|z|=2} \frac{d z}{z^n-1}$ 的值与 $n$ 有关．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$z_0$ 为 $D$ 内任一点，则对于 $D$ 内任何一条不经过 $z_0$ 的正

向简单闭曲线，均有 $\oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{z-Z_0} d z=\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} d z$ ．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续，且对 $D$ 内任意内部均在 $D$ 内的简单闭曲线 $C$ ，均有 $\oint_C f(z) d z=0$ ，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
在复平面上无界区域内的有界解析函数一定是常数．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$

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