填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a, b \in R , f$ 是整函数，并且 $\operatorname{Re}(f(x+ i y))=a x^5+b x^3 y^2+x y^4, \forall x, y \in R$ ．则 $a=$ ， $b=$
设 $a \in C \backslash\{0\}, f$ 在 $C \backslash\{a\}$ 上解析，$f(z)$ 在 0 处的Taylor展开为 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ ，其中 $\left|c_n-n(n-1) 4^n\right| \leqslant$ 1 对任意 $n \geqslant 0$ 成立．则 $a=$ ________ ，$a$ 作为 $f$ 孤立奇点的类型为（极点须指明阶数） ________ , $f$ 在 $a$ 处的留数为 ________
设 $R>0$, Laurent 展开 $\frac{1}{e^{2 z}-e^{-z}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n$ 在圆环形区域 $\{z \in C |0 < |z| < R\}$ 上成立．则 $R$ 可能取到的最大值为 ________ , $c_{-1}=$ ________ , $c_1=$
$\oint_{|z|=\sqrt{2}} \frac{z^5}{z^6-1} d z=$ ,
$\oint_{|z-1|=\sqrt{2}} \frac{z^5}{z^6-1} d z=$
设 $p(z)$ 是 $z$ 的 12 次实系数多项式，并且当 $z \in R$ 时 $p(z)>0$ ，当 $i z \in R$ 时 $p(z) \neq 0$ ．对任意 $t \in R \backslash\{0\}$ ，以 $L(t)$ 表示复平面上从 0 到 $i t$ 的有向直线段，并且记 $I(t)=\operatorname{Im} \int_{L(t)} \frac{p^{\prime}(z)}{p(z)} d z$ ．已知 $\lim _{t \rightarrow+\infty} I(t)=2 \pi$ ，则 $p$ 在第一象限（即 $\{z \in C \mid \operatorname{Re} z>0, \operatorname{Im} z>0\}$ ）内的零点个数（计重数）为 ________ , $ \lim _{t \rightarrow-\infty} I(t)=$ ________
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\oint_{|z|=2} \frac{z^4 \sin \bar{z}}{z^2+1} d z$
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\cos \omega x}{x^4+a^4} d x$ ，其中参数 $a>0, \omega \in R$ ．
设整数 $m \geqslant 1, F _m=\left\{f: D \rightarrow D\right.$ 解析 $\left\lvert\, \frac{1}{2}\right.$ 是 $f$ 的 $m$ 阶零点 $\}$ ．计算 $\sup _{f \in F _3}|f(0)|$ 与 $\sup _{f \in F _1}\left|f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\right|$ ．
判断下面说法是否正确，并给出你的证明。 存在整函数 $f$ ，使得 $f\left(\frac{1}{n}\right)=e^{-n}$ 对任意整数 $n \geqslant 1$ 成立
判断下面说法是否正确，并给出你的证明。 设 $L=\{a+ i b \mid a, b \in Z \}, I=[-1,1]$ ．若 $f: C \backslash L \rightarrow C \backslash I$ 解析，则 $f$ 是常数．