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三角函数的恒定变换

发布日期 2025/6/4 5:44:52      查看 9      加入组卷      查看作者     
单选题
若 $\sin (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+\beta)=2 \sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \sin \beta$ ，则
$\text{A.}$ $\tan (\alpha-\beta)=1$ $\text{B.}$ $\tan (\alpha+\beta)=1$ $\text{C.}$ $\tan (\alpha-\beta)=-1$ $\text{D.}$ $\tan (\alpha+\beta)=-1$
【2021 年甲卷文科】若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=$
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$
【2021 年乙卷文科】 $\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=$
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$
已知 $\alpha \in(0, \pi)$ ，且 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$ ，则 $\sin \alpha=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{B.}$ ．$\frac{2}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{9}$
【2020 年新课标 3 卷理科】已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta=(\quad)$
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$
$\sin 45^{\circ} \cos 15^{\circ}+\cos 225^{\circ} \sin 165^{\circ}=($
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
知 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 等于（
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{10}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$ $\text{C.}$ $-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ $\text{D.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
若 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos (\pi-2 \alpha)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{3}{5}$ $\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{2}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
已知 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$ ，则 $\cos \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{2}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $\tan \alpha=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$ $\text{B.}$ $2+\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $\sqrt{6}$ $\text{D.}$ $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
已知角 $\theta$ 的终边过点 $A(-1,1)$ ，则 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-\theta\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
已知 $\sin \alpha=\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{3}$ ，则 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ $-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
计算 $\tan 70^{\circ} \cos 10^{\circ}\left(\sqrt{3} \tan 20^{\circ}-1\right)=$
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ -1 $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
已知 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$（ ）
$\text{A.}$ $-\frac{7}{25}$ $\text{B.}$ $\frac{7}{25}$ $\text{C.}$ $-\frac{24}{25}$ $\text{D.}$ $\frac{24}{25}$
已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $\tan \alpha=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$ $\text{B.}$ $2+\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $\sqrt{6}$ $\text{D.}$ $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
已知 $\alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right), \sin \alpha=-\frac{3}{5}, \sin (\alpha+\beta)=3 \cos \beta$ ，则 $\tan \beta=$
$\text{A.}$ -3 $\text{B.}$ $-\frac{3}{17}$ $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ $\frac{9}{2}$
$\quad \sqrt{3} \tan 26^{\circ} \tan 34^{\circ}+\tan 26^{\circ}+\tan 34^{\circ}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{B.}$ $-\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $\sqrt{3}$ $\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知 $\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], \sin 2 \theta=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos \theta=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6}$ $\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$ $\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$ $\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{3}}{6}$
多选题
下列选项中，与 $\sin \frac{5 \pi}{6}$ 的值相等的是（ ）
$\text{A.}$ $\cos \frac{2 \pi}{3}$ $\text{B.}$ $\cos 18^{\circ} \cos 42^{\circ}-\sin 18^{\circ} \sin 42^{\circ}$ $\text{C.}$ $2 \sin 75^{\circ} \sin 75^{\circ}$ $\text{D.}$ $\frac{\tan 30^{\circ}+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 30^{\circ} \tan 15^{\circ}}$
已知 $\cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos 2 \alpha=-\frac{5}{13}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 为锐角，以下判断正确的是
$\text{A.}$ $\sin 2 \alpha=\frac{12}{13}$ $\text{B.}$ $\cos (\alpha-\beta)=\frac{19 \sqrt{5}}{65}$ $\text{C.}$ $\cos \alpha \cos \beta=\frac{8 \sqrt{5}}{65}$ $\text{D.}$ $\tan \alpha \tan \beta=\frac{11}{8}$
填空题
若 $\alpha+\beta=\frac{3 \pi}{4}$ ，则 $(1-\tan \alpha)(1-\tan \beta)=$ $\qquad$。
在 $\triangle A B C$ 中， $\tan A+\tan B+\sqrt{3}=\sqrt{3} \tan A \tan B$ ，则 $C=$ $\qquad$ ；
已知 $\alpha$ 是第二象限角，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \tan (\alpha+\beta)=-2$ ，则 $\tan \beta=$ $\qquad$ ．
若 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{3}{2}, \tan \beta=2$ ，则 $\tan \alpha=$ $\qquad$ ．
若 $\sin (\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{10}}{10}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan \beta=$ $\qquad$ ．
若 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\cos 2 \alpha=$ $\qquad$ ．
解答题
已知 $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=-\frac{1}{4}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $\sin 2 \alpha$ 的值；
（2）求 $\tan \alpha-\frac{1}{\tan \alpha}$ 的值．
化简：$\frac{(1+\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{2+2 \cos \theta}}(0 < \theta < \pi)$ ．

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