单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
下列函数中，连续但不可微的是
$\text{A.}$ $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x y)}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $z=\sin \left(x^2+y^2\right)$
$\text{C.}$ $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $z=(1+x y) e^{x y}$ ．
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为 0 ；
$\text{B.}$ 一个一元函数如果存在原函数则一定连续；
$\text{C.}$ 一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；
$\text{D.}$ 一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微；
下列广义积分中，收敛的
$\text{A.}$ $\int_0^1 \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_e^{\infty} \frac{1}{\ln x} d x$
$\text{C.}$ $\int_e^{\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n \pi$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^n}{(n+1)^n}$ ．
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是一阶非齐次线性方程 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的两个不相同的特解，则 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的通解是
$\text{A.}$ $y_1(x)+y_2(x)$
$\text{B.}$ $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$
$\text{C.}$ $C\left(y_1(x)-y_2(x)\right)+y_1(x)$
$\text{D.}$ $y_1(x)-y_2(x)$
$\int_0^1 \int_{y-1}^{1-y} f(x, y) d x d y=$
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 \int_0^{x+1} f(x, y) d x d y+\int_0^1 \int_0^{1-x} f(x, y) d x d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_0^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 \int_0^1 f(x, y) d x d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \int_0^{2-x} f(x, y) d x d y$ ．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 的弹性函数为 $\sqrt{x}$ ，则 $f(x)=$
设 $\varphi(x)=\int_0^{\sqrt{x}} x e^{-t^2} d t$ ，则 $\varphi^{\prime}(x)=$
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} d x=$
差分方程 $y_{t+1}-4 y_t=t$ 的通解为
函数 $f(x)=\sin ^2 x$ 的麦克劳林级数等于
微分方程 $y^{\prime}+y \cos x=\cos x$ 的通解为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int \frac{1}{1-x^2} d x$
$\int \frac{-\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$
$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$
设 $z=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $d z$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
求方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x$ 的通解
求 $\iint_D x y^2 d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 2\right\}$ ．
设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+y^2 \geq 1, y^2 \leq 2 x, x \leq 2\right\}$ ，求：
（1）区域 $D$ 的面积；
（2）区域 $D$ 绕 $y$ 旋转一周所形成的立体的体积．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \frac{\sin t}{t} d t}{x}$
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sin x)}{\ln (1+\sin x+\cos x+\sin x \cos x)} d x$
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)!}$ 的收敛区间及和函数，并利用所得结果计算 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} d x$（写成数项级数）。
消费者购买商品消费的目的是满足自身的某种欲望或需求，我们称这种从商品消费中获得的满足感为效用（utility），效用数量越多表示消费者从商品消费中获得的满足感越强。效用的多少依赖于消费者所消费的商品量，因此我们把效用视为商品数量的函数，例如某消费者消费 $X$ 单位 A 商品和 $Y$ 单位 B 商品所获得的效用可表示为
$$
U=U(X, Y), \quad X \geq 0, Y \geq 0 .
$$
我们称上面的函数为效用函数，并假设它具有连续的一阶和二阶偏导数，且 $U_X^{\prime}>0, U_Y^{\prime}>0, U_{X X}^* < 0, U_Y^* < 0$ 。如果 $A , B$ 两种商品在市场上的单位售价分别为 $P_X$ 和 $P_Y$（它们均为正），该消费者共有 $a$ 单位货币，则他必须合理地分配自己的货币用于购买这两种商品，以获取最大的效用。这种最优的资金分配方案也可以用商品数量 $\left(X^*, Y^*\right)$ 来等价地表示，即 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是下列条件极值问题的解：
$$
\begin{aligned}
& \max U(X, Y) \\
& \text { subject to } X P_X+Y P_Y \leq a
\end{aligned}
$$
即求效用函数 $U=U(X, Y)$ 在预算约束 $X P_X+Y P_Y \leq a$ 下的最大值点。我们构造拉格朗日函数如下：
$$
L(X, Y, \lambda)=U(X, Y)-\lambda\left(X P_X+Y P_Y-a\right),
$$
试证明：
（1）如果 $\left(X^*, Y^*, \lambda^*\right)$ 是拉格朗日函数 $L(X, Y, \lambda)$ 的无条件最大值点，则 $\left(X^*, Y^*\right)$ 一定是条件极值问题（i）的解；
（2）如果 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是条件极值问题（i）的解，则 $X P_X+Y P_Y=a$ ；
（3）如果 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是条件极值问题（i）的解，则存在实数 $\lambda^*$ 使得 $\left(X^*, Y^*, \lambda^*\right)$ 是拉格朗日函数 $L(X, Y, \lambda)$ 的驻点。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x=0 \text { 。 }$