消费者购买商品消费的目的是满足自身的某种欲望或需求，我们称这种从商品消费中获得的满足感为效用（utility），效用数量越多表示消费者从商品消费中获得的满足感越强。效用的多少依赖于消费者所消费的商品量，因此我们把效用视为商品数量的函数，例如某消费者消费 $X$ 单位 A 商品和 $Y$ 单位 B 商品所获得的效用可表示为
$$
U=U(X, Y), \quad X \geq 0, Y \geq 0 .
$$
我们称上面的函数为效用函数，并假设它具有连续的一阶和二阶偏导数，且 $U_X^{\prime}>0, U_Y^{\prime}>0, U_{X X}^* < 0, U_Y^* < 0$ 。如果 $A , B$ 两种商品在市场上的单位售价分别为 $P_X$ 和 $P_Y$（它们均为正），该消费者共有 $a$ 单位货币，则他必须合理地分配自己的货币用于购买这两种商品，以获取最大的效用。这种最优的资金分配方案也可以用商品数量 $\left(X^*, Y^*\right)$ 来等价地表示，即 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是下列条件极值问题的解：

$$
\begin{aligned}
& \max U(X, Y) \\
& \text { subject to } X P_X+Y P_Y \leq a
\end{aligned}
$$


即求效用函数 $U=U(X, Y)$ 在预算约束 $X P_X+Y P_Y \leq a$ 下的最大值点。我们构造拉格朗日函数如下：

$$
L(X, Y, \lambda)=U(X, Y)-\lambda\left(X P_X+Y P_Y-a\right),
$$

试证明：
（1）如果 $\left(X^*, Y^*, \lambda^*\right)$ 是拉格朗日函数 $L(X, Y, \lambda)$ 的无条件最大值点，则 $\left(X^*, Y^*\right)$ 一定是条件极值问题（i）的解；
（2）如果 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是条件极值问题（i）的解，则 $X P_X+Y P_Y=a$ ；
（3）如果 $\left(X^*, Y^*\right)$ 是条件极值问题（i）的解，则存在实数 $\lambda^*$ 使得 $\left(X^*, Y^*, \lambda^*\right)$ 是拉格朗日函数 $L(X, Y, \lambda)$ 的驻点。